Пример 4.

Пример 3.

а) Множество всех дизъюнкций, то есть функций вида является замкнутым классом.

б) Множество всех линейных функций является замкнутым классом, так как подстановка формул вида после преобразований даёт формулу такого же вида.

Важнейшим примером замкнутого класса является класс монотонных функций, который будет рассмотрен далее.

Ранее рассматривалось отношение частичного порядка на множестве векторов одинаковой длины. Напомним, что для векторов и выполняется , если для любого выполняется . Здесь воспользуемся этим отношением для двоичных векторов.

Определение. Функция называется монотонной, если для любых двух двоичных наборов длины из того, что следует .

а) Функция монотонна.

б) Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями.

в) Рассмотрим две функции от трёх переменных, заданных следующей таблицей.

Функция , очевидно, не является монотонной, так как, например , а . Монотонность функции легко установить непосредственной проверкой.

Проверка монотонности функции непосредственно по определению требует анализа таблицы функции и может оказаться достаточно трудоёмкой. Поэтому весьма полезной для установления монотонности является следующая теорема. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Теорема 11.3. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Из данной теоремы и того очевидного факта, что подстановка нескольких формул без отрицаний в формулу без отрицаний снова даёт формулу без отрицаний, вытекает следующая теорема.

Теорема 11.4. Множество всех монотонных функций является замкнутым классом.

Но поскольку всякая булева формула без отрицаний является суперпозицией дизъюнкций и конъюнкций, из данной теоремы непосредственно получаем следствие.

Следствие. Класс монотонных функций является замыканием системы функций .

1. Теоремы о функциональной полноте.

Теперь перейдём к рассмотрению основного вопроса, поставленного в рамках данной лекции: каковы необходимые и достаточные условия функциональной полноты для произвольной системы функций ? Вначале было сказано, что система полна, если конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются суперпозициями функций из системы . Поэтому будем искать свойства функций, позволяющие выразить через них булевы операции. Сначала сформулируем две леммы, позволяющие вывести соответствующие теоремы.

Лемма 1 (о немонотонных функциях). Если функция немонотонна, то подстановкой констант из неё можно получить отрицание.

Практически данная лемма является утверждением, противоположным теореме, обратной к теореме 11.3. Смысл её заключается в том, что для функции существует такая подстановка константы, что функция оставшейся одной переменной является отрицанием.

Лемма 2 (о нелинейных функциях). Если функция нелинейна, то с помощью подстановки констант и использования отрицаний из неё можно получить дизъюнкцию или конъюнкцию.

Иначе говоря, существует представление дизъюнкции и конъюнкции в виде суперпозиции констант, отрицаний и нелинейной функции .

Замечание. При традиционных обозначениях переменных в выражениях вида , где переменные расположены в естественном порядке индексов, эти индексы играют двоякую роль: они именуют переменные и нумеруют их места в функции. Эти роли следует различать.

Две указанные леммы позволяют получить все булевы операции с помощью немонотонных функций, нелинейных функций и констант. Это ещё не полнота в точном смысле слова, так как константы с самого начала предполагались данными. Однако такое предположение часто бывает оправданным в различных приложениях (прежде всего в синтезе логических схем). Поэтому есть смысл ввести ослабленное определение полноты.

Определение. Система функций называется функционально полной в слабом смысле, если любая логическая функция может быть представлена формулой над системой , то есть является суперпозицией констант и функций из системы .

Очевидно, что из обычной полноты системы следует её слабая полнота.

Теорема 11.5 (первая теорема о функциональной полноте). Для того, чтобы система функций была функционально полной в слабом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хот бы одну немонотонную функцию и хотя бы одну нелинейную функцию.

Доказательство:

1) Необходимость. Классы монотонных и линейных функций замкнуты и содержат 0 и 1. Поэтому если не содержит немонотонных или нелинейных функций, то их нельзя получить с помощью суперпозиций функций из системы и констант.

2) Достаточность. Пусть содержит немонотонную и нелинейную функцию. Тогда по лемме 1 подстановкой констант из монотонной функции получаем отрицание, а затем по лемме 2 из нелинейной функции с помощью отрицаний и констант получаем дизъюнкцию и конъюнкцию.