Назначение. Проверка гипотезы о принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности и следовательно — их равенстве.
Нулевая гипотеза. S22 = S12
Альтернативная гипотеза. Существуют следующие варианты НА в зависимости от которых различаются критические области:
1. S12 > S22. Наиболее часто используемый вариант НА. Критическая область — верхний хвост F-распределения.
2. S12 < S22. Критическая область — нижний хвост F-распределения. Ввиду частого отсутствия нижнего хвоста, в таблицах критическую область обычно сводят к варианту 1, меняя местами дисперсии.
3. Двухсторонняя S12 ≠S22 .Комбинация первых двух.
Предпосылки. Данные независимы и распределены по нормальному закону. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей принимается, если отношение большей дисперсии к меньшей меньше критического значения распределения Фишера.
FP = S12/S22
Примечание. При описываемом способе проверки значение Fpaсч обязательно должно быть больше единицы. Критерий чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
Для двухсторонней альтернативы S12 ≠S22 нулевая гипотеза принимается при выполнении условия:
F l-α/2 < Fрасч < Fα/2
Пример
Комплексным теплометрическим методом определяли теплофизические. характеристики (ТФХ) зеленого солода. Для приготовления образцов брали воздушно-сухой (средняя влажность W=19%) и влажный солод четырехсуточного ращения (W=45%) в соответствии новой технологией приготовления карамельного солода. Опыты показали, что теплопроводность λ влажного солода примерно в 2,5 раза больше, чем сухого, а объемная теплоемкость не имеет четкой зависимости от влажности солода. Поэтому с помощью F-критерия проверили возможность обобщить данные по средним значениям без учета влажности
Расчетные данные сведены в таблицу 5.1
Таблица 5.1
Данные к расчету F-критерия
Большее значение дисперсии получено для W=45%, т.е. S2 45 = S12, S2 19= S22, и FP = S12/S22=1,35. Из таблицы 5.2 для степени свободы f1=N1-1=5 f2=N2-1=4 при γ=0,95 определяем FКР=6,2. Нуль гипотеза сформулированная как «В диапазоне влажности зеленого солода от 19 до 45% ее влиянием на объемную теплоемкость можно пренебречь» или «S245 = S219» с доверительной вероятностью 95% подтвердилась, поскольку Fp<FKР.
Пример проверки гипотезы о принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности по критерию Фишера с помощью Excel
Приведены данные по двум независимым выборкам (табл. 5.2) степени водопоглощения зерна пшеницы Было проведено исследование воздействия магнитными полями низкой частоты.
Таблица 5.2
Результаты исследований
Номер
Номер выборки
опыта
2 ,
0,027
0,075
0,036
0,4
0,1
0,08
0,12
0,105
0,32
0,075
0,45
0,12
0,049
0,06
0,105
0,075
Прежде, чем мы будем проверять гипотезу о равенстве средних этих выборок, необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы знать какой из критериев выбрать для ее проверки.
На рис. 5.1 приведен пример проверки гипотезы о принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности по критерию Фишера используя программный продукт Microsoft Excel.
Рисунок 5.1 Пример проверки принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности по критерию Фишера
Исходные данные размещены в ячейках, находящихся на пересечении столбцов С и D со строками 3-10. Выполним следующие действия.
1. Определим, можно ли считать закон распределения первой и второй выборок нормальным (столбцы С и D соответственно). Если нет (хотя бы для одной выборки), то необходимо использовать непараметрический критерий, если да – продолжаем.
2. Рассчитаем дисперсии для первого и второго столбца. Для этого в ячейках СП и D11 поместим функции =ДИСП(СЗ:С10) и =ДИСП(DЗ:D10) соответственно. Результатом работы этих функций является рассчитанное значение дисперсии для каждого столбца соответственно.
3. Находим расчетное значение для критерия Фишера. Для этого нужно большую дисперсию разделить на меньшую. В ячейку F13 помещаем формулу =C11/D11, которая и выполняет эту операцию.
4. Определяем, можно ли принять гипотезу о равенстве дисперсий. Существует два способа, которые представлены в примере. По первому способу, задавшись уровнем значимости, например 0,05, вычисляют критическое значение распределения Фишера для этого значения и соответствующего числа степеней свободы. В ячейку F14 вводится функция =FPACПOBP(0,05;7;7) (где 0,05 - заданный уровень значимости; 7 — число степеней свободы числителя, а 7 (второе) — число степеней свободы знаменателя). Число степеней свободы равно числу экспериментов минус единица. Результат — 3,787051. Поскольку это значение больше расчетного 1,81144, мы должны принять нулевую гипотезу о равенстве дисперсий.
По второму варианту рассчитывают для полученного расчетного значения критерия Фишера соответствующую вероятность. Для этого в ячейку F15 вводится функция =FPACП(F13;7;7). Поскольку полученное значение 0,22566 больше, чем 0,05, то принимается гипотеза о равенстве дисперсий.
Это может быть выполнено специальной функцией. Выберите в меню последовательно пункты Сервис, Анализ данных. Появится окно следующего вида (рис. 5.2).
Рисунок 5.2 Окно выбора метода обработки
В этом окне выбираете «Двухвыборочный F-mecm для дисперсий». В результате появится окно вида, показанного на рис. 5.3. Здесь задаются интервалы (номера ячеек) первой и второй переменной, уровень значимости (альфа) и место, где будет находится результат.
Задавайте все необходимые параметры и нажимайте ОК. Результат работы приведен на рис. 5.4
Следует отметить, что функция проверяет односторонний критерий и делает это правильно. Для случая, когда критериальное значение больше 1, вычисляется верхнее критическое значение.
Рисунок 5.3 Окно задания параметров
Когда критериальное значение меньше 1, то вычисляется нижнее критическое.
Напоминаем, что гипотеза о равенстве дисперсий отвергается, если критериальное значение больше врехнего критического или меньше нижнего.
