Простейшая модель СМО может быть сформирована для следующих условий:
· в СМО один канал обслуживания;
· заявка, поступившая в момент, когда канал занят, покидает СМО необслуженной;
· длительность интервалов между поступающими заявками имеет экспоненциальное распределение (поток заявок - простейший);
· время обслуживания заявки имеет экспоненциальное распределение (поток обслуживаний - простейший).
Для этого случая граф состояний СМО представлен на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Граф состояний простейшей СМО с отказами
Примечание. Обозначение на рис. 5.1:
S0 - канал свободен (ожидание прихода заявки);
S1 - канал занят (идет обслуживание заявки и если приходит еще одна заявка, то СМО отказывает ей в обслуживании).
Обозначим вероятности событий:
P0(t) - вероятность состояния "канал свободен";
P1(t) - вероятность состояния "канал занят".
По размеченному графу состояний (рис. 5.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
dP0(t) /dt= -λ∙P0(t) +μ∙P1(t);
dP1(t) /dt= -μ∙P1(t) +λ∙P0(t).
С учетом нормировочного условия P0(t) +P1(t) = 1 и с учетом экспоненциального характера потока заявок и потока обслуживаний решение имеет следующий вид:
P0(t) = [λ/ (λ+μ)]∙ e-( λ + μ) ∙ t+[μ/ (λ+μ)];
P1(t) = 1 -P0(t).
Очевидно, что для одноканальной СМО с отказами P0(t) - не что иное, как относительная пропускная способность СМО q.
В установившемся (стационарном) режиме функционирования (при t → ∞) решение по простейшей СМО еще более упроститься:
q=P0= μ/ (λ+μ).
Абсолютная пропускная способность A (среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени) определяется из выражения
A=λ∙q= (λ∙μ) / (λ+μ).
Вероятность отказа в обслуживании заявки (или средняя доля необслуженных заявок среди поданных) определяется из выражений
Pотк.=P1= 1 - P0= 1 - [μ / (λ+μ)].
Сформируем модель СМО для условий:
· имеется один канала обслуживания;
· поток заявок - простейший, с интенсивностью λ;
· поток обслуживаний - простейший с интенсивностью μ;
· заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Однако длина очереди ограничена и не может превысить N-1 заявок. При достижении лимита длины очереди вновь поступающие заявки покидают СМО необслуженными.
Граф состояний такой СМО представлен на рис. 5.2 и представляет собой схему «гибели и размножения».
Рис. 5.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
Примечание. Обозначения на рис. 5.2:
S0 - "канал свободен";
S1 - "канал занят" (очереди нет);
S2 - "канал занят" (одна заявка в очереди);
…
Sn - "канал занят" (N -1 заявок стоит в очереди);
…
SN - "канал занят" (N -1 заявок стоит в очереди).
Введя обозначение ρ = λ / μи понимая под n - номер состояния, стационарный процесс в этой СМО можем описать следующей системой алгебраических уравнений:
-ρ∙P0+P1= 0,дляn= 0;
…
-(1 -ρ)∙Pn+Pn+1+ρ∙Pn-1 = 0, для 0 <n<N;
…
-PN+ρ∙PN-1= 0,для n=N.
Откуда получаются решения для рассматриваемой модели СМО: