Умозаключения из суждений с отношениями – это умозаключения, в которых посылки и заключения являются суждениями с отношениями, а сам вывод строится на основе знания признаков тех или иных отношений.
Такие умозаключения особенно распространены в математике, имеющей дело с различными формальными отношениями, а также при системном подходе к предметам. Отношения, как уже отмечалось, бывают разные, и по качественному, и по количественному составу. Рассмотрим некоторые особенности данных умозаключений на примере умозаключений из суждений с двуместными отношениями. Двуместными отношениями называются такие, в которых могут находиться всегда пары предметов. В общем случае говорят о так называемых n-местных отношениях, где n может равняться 2 или большему целому числу.
В свою очередь умозаключения на основе двуместных отношений строятся с учетом свойств двуместных отношений, знание которых гарантирует истинность заключений. Свойства двуместных отношений:1) рефлексивность, 2) симметричность, 3) транзитивность.
(1) Отношение называется рефлексивным, если для любого предмета верно, что имеется это отношение предмета к самому себе. Это свойство записывается так: а R а,
где а обозначает произвольный предмет, а
R – двуместное отношение, которое выполняется для предмета а.
Если отношение не обладает данным признаком, то его называют нерефлексивным. Например, отношение "ровесник" рефлексивно, потому что любой человек и вообще любой предмет ровесник самого себя.
(2) Отношение называется симметричным, когда для любых двух предметов верно, что если есть отношение первого предмета ко второму, то есть это же отношение второго предмета к первому. Это свойство записывается так: а R в = в R а.
Таковыми являются отношения родства, равенства, параллельности и т.д. Несимметричными являются отношения "больше", "старше", "севернее" и т. д.
(3). Отношение называется транзитивным, когда для любых трех предметов верно, что, если есть это отношение между первым и вторым, а также между вторым и третьим предметами, то оно есть между первым и третьим предметами. Транзитивность называют также переходностью.
Записывается так: (a R b & b R c) É a R c
Так, отношение "сосед" является транзитивным, а отношение "отец" не является транзитивным. Никогда не может быть так, что первый человек – отец второго, второй - отец третьего, и при этом первый – отец третьего.
Зная указанные свойства двуместных отношений, мы можем делать определенные выводы, строить определенные умозаключения. Так, если Т.Г. Шевченко был современником А.С. Пушкина, то мы легко заключаем о том, что А. С. Пушкин, в свою очередь, жил в одно время с Т.Г. Шевченко, на основе признака симметричности отношения "быть современником". Также легко мы заключаем о том, что А. М. Горький родился позже Л.Н. Толстого, на том основании, что он родился позже А.П. Чехова, а А.П. Чехов родился позже Л.Н. Толстого (транзитивность отношения "позже").
Лекция № 6. Выводы из категорических суждений: простой категорический силлогизм
План:
Простой категорический силлогизм: структура, модусы, фигуры
Правила логического вывода фигур категорического силлогизма
Алгоритм анализа силлогизма
Условия правильности и неправильности умозаключения
Сокращенные, сложные и сложносокращенные силлогизмы
I. Простой категорический силлогизм: структура, модусы, фигуры
ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ –
дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение;
умозаключение об отношении двух крайних терминов на основании их отношения к среднему термину
Состав категорического силлогизма:
К примеру:
Военнослужащий, дезертировавший из части (М), привлекается к уголовной ответственности (Р)
Петров (S) является военнослужащим, дезертировавшим из части (М)
Петров (S) привлекается к уголовной ответственности (Р).
Имеются различия в построении силлогических выводов, связанные с положением среднего термина. Эти разновидности называют фигурами силлогизма. Имеются четыре фигуры:
Посылками силлогизма могут быть суждения, различные по качеству и количеству:
А – общеутвердительные;
Е – общеотрицательные;
I – частноутвердительные;
О – частноотрицательные.
Ø В первой фигуре средний термин занимает место субъекта в большей и место предиката в меньших посылках
Пример:
Все люди (М) смертны (Р)
Все греки (S) – люди (М)
Все греки (S) – смертны (Р)
Правила первой фигуры: 1) большая посылка – общее суждение;
2) меньшая посылка – утвердительное суждение
Ø Во второй фигуре средний термин занимает место предиката в обеих посылках
Пример:
Все жидкости (Р) упруги (М)
Воск (S) не упруг (М)
Воск (S) не жидкость (Р)
Правила второй фигуры: 1) большая посылка – общее суждение;
2) одна из посылок – отрицательное суждение
Ø В третьей фигуре средний термин занимает место субъекта в обеих посылках
Пример:
Все киты (М) – млекопитающие (Р)
Все киты (М) – водные животные (S)
Некоторые водные животные (S) – млекопитающие (Р)
Правила третьей фигуры: 1) меньшая посылка – утвердительное суждение;
2) заключение – частное суждение.
Ø В четвертой фигуре средний термин занимает место предиката в большей и место субъекта в меньшей посылке
Пример:
Все студенты дневных отделений (Р) – молодые люди (М)
Правила четвертой фигуры: не дает общеутвердительных заключений
Вывод по четвертой фигуре имеет необходимый характер при соблюдении следующих правил:
Если большая посылка утвердительная, то меньшая должна быть общей.
Если одна из посылок отрицательная, то большая посылка должна быть общей;
Если меньшая посылка утвердительная, то заключение должно быть частным.
МОДУСАМИ ФИГУР ПРОСТОГО КАТЕГОРИЧЕСКОГО СИЛЛОГИЗМА называются разновидности силлогизма, отличающиеся друг от друга качественной и количественной характеристикой входящих в них посылок и заключения.
Посылками и заключением могут быть суждения типа:
А – общеутвердительные;
Е – общеотрицательные;
I – частноутвердительные;
О – частноотрицательные.
Модусы силлогизмов бывают правильными (при истинности посылок всегда дают истинное заключение) и неправильные. Правильные модусы соответствуют правильным умозаключениям, неправильным – неправильным умозаключениям. Отделить правильные модусы от неправильных можно простым способом: исключить комбинации посылок, не соответствующие общим правилам простого категорического силлогизма, а также исключить и те посылки, которые не соответствуют правилам фигур. В результате получим 24 модуса, которые называются правильными:
