Основные понятия и определения

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов

Погрешность является одним из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.

1. Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода (ЧМ) для решения конкретной технической задачи.

2. Численный метод можно считать удачно выбранным:

– если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;

– если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;

– завышенное снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.

3. Предпочтение отдается методу, который:

– реализуется с помощью меньшего числа действий;

– требует меньшего объема памяти ПК;

– логически является более простым.

Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится находить компромисс между ними.

4. Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

5. По возможности следует прибегать к существующему программному обеспечению ПК для решения типовых задач.

6. Нужно помнить всегда, что ПК многократно увеличивает некомпетентность исполнителя технической задачи.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются важной математической моделью линейной алгебры. На их базе ставятся такие практические математические задачи, как:

1) непосредственное решение линейных систем;

2) вычисление определителей матриц;

3) вычисление элементов обратных матриц;

4) определение собственных значений и собственных векторов матриц.

Решение линейных систем является одной из самых распространенных задач вычислительной математики. К их решению сводятся многочисленные практические задачи нелинейного характера, решения дифференциальных уравнений и др.

Вторая и третья задачи являются также и составляющими технологии решения самих линейных систем.

Обычно СЛАУ n-го порядка записывается в виде

;

или в развернутой форме:

(2.1)

или в векторной форме:

, (2.2)

где

; ; .

В соотношении (2.2): А - основная матрица системы с n² элементами; = (x₁, x₂, ..., x_n)^Т – вектор-столбец неизвестных; = (b₁, b₂, ..., b_n)^Т – вектор-столбец свободных членов.

Определителем (детерминантом – det) матрицы А n-го порядка называется число D (det A), равное

.

Здесь индексы a, b, ..., w «пробегают» все возможные n! перестановок номеров 1, 2, ..., n; k – число инверсий в данной перестановке.

Первоначальным при решении СЛАУ (2.1) является анализ вида исходной матрицы А и вектора-столбца свободных членов в (2.2).

Если все свободные члены равны нулю, т. е. = 0, то система называется однородной. Если же ¹ 0 или хотя бы одно b_i ¹ 0 (), то система (2.2) называется неоднородной.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель |A| ¹ 0. При этом система (2.1) имеет единственное решение.

При |A| = 0 матрица А называется вырожденной, или особенной, а система (2.1) не имеет решения либо имеет бесконечное множество решений.

Если |A| » 0 система (2.1) называется плохо обусловленной, т. е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы.

В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (а_ij = a_ji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др.

Решение системы (2.2) заключается в отыскании вектора-столбца = (x₁, x₂, ... , x_n)^Т, который обращает каждое уравнение системы в тождество.

Существует две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного, которые появляются в связи с округлением и ограниченностью разрядной сетки ПК, – погрешность e и невязкаr:

(2.3)

где – вектор решения.

Как правило, значения вектора неизвестны.

Доказано, что если e » 0, то и r = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязку r.