Понятия устойчивости, корректности и сходимости

Задачи теории погрешностей

Прямая задача теории погрешностей. Пусть в некоторой области G n-мерного числового пространства рассматривается непрерывно дифференцируемая функция

y = f(x₁, ..., x_n).

Пусть в точке (x₁, ..., x_n), принадлежащей области G, нужно вычислить значение функции. Известны лишь приближенные значения аргументов (а₁, ..., а_n) Î G и их погрешности. Очевидно, что это будет приближенное значение

y* = f(а₁, а₂, ..., а_n).

Нужно оценить его абсолютную погрешность:

Dy* = | y – y* | .

Для функции одного аргумента y = f(x) абсолютная погрешность, вызываемая достаточно малой погрешностью Dа, оценивается величиной

Dy* = .

Обратная задача теории погрешностей. Состоит в определении допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.

Для функции одной переменной y = f(x) абсолютную погрешность можно вычислить приближенно по формуле

.

Для функций нескольких переменных y = f(x₁, ..., x_n) задача решается при следующих ограничениях.

Если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с той же точностью, что и значение остальных аргументов, то погрешность именно этого аргумента и согласовывают с требуемой погрешностью функции.

Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т. е. учитывают, что все слагаемые

,

равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой

.

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность Dх, то решение у имеет погрешность Dу.

Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно зависит от х, т. е. малое приращение исходной величины х приводит к малому приращению искомой величины у. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Понятие сходимости численного решения вводится для итерационных процессов. По результатам многократного повторения итерационного процесса получают последовательность приближенных значений . Говорят, что эта последовательность сходится к точному решению, если .

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.