русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение  имеет два комплексных корня:  . Общее решение этих уравнений будет:

,

где           – постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

  .

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу  и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает  с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации   матричной   экспоненты   дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

 . . .

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

 

t

Аналитическое

решение

Аппроксимация

Падэ порядка 1

 Аппроксимация

Падэ порядка 2

Аппроксимация

Падэ порядка 3

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0.1

1.066

 0.3475

 1.0670

 0.3483

 1.0660

 0.3475

 1.066

 0.3475

0.2

 1.072

-0.2023

 1.0740

-0.2018

 1.0720

-0.2023

 1.072

-0.2023

0.3

 1.029

-0.6434

 1.0320

-0.6440

 1.0290

-0.6434

 1.029

-0.6434

0.4

0.9478

-0.9755

 0.9513

-0.9778

 0.9478

-0.9755

 0.9478

-0.9755

0.5

0.8380

-1.203

 0.8420

-1.207

 0.8380

-1.203

 0.8380

-1.203

0.6

0.7103

-1.335

 0.7145

-1.341

 0.7102

-1.335

 0.7102

-1.335

0.7

0.5737

-1.383

 0.5779

-1.391

 0.5737

-1.383

 0.5737

-1.383

0.8

0.4360

-1.360

 0.4398

-1.369

 0.4360

-1.360

 0.4360

-1.360

0.9

0.3035

-1.280

 0.3068

-1.290

 0.3035

-1.280

 0.3035

-1.280

1.0

0.1814

-1.156

 0.1839

-1.167

 0.1814

-1.156

 0.1814

-1.156

 

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5-6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

 .

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05.  Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2 .

t

Точное решение

Интегрированиепо формуле пря-моугольников

Интегрирование по формуле трапеций

Интегрирование по формуле парабол

0

    1  

    1   

    1  

    1   

    1  

    1   

    1  

    1   

0.1

 1.16576

 0.328872

 1.16422

0.302569

 1.16514

0.330031

 1.16576

0.328872

0.2

 1.26681

-0.271328

 1.26234

-0.318851

 1.26567

-0.269062

 1.26680

-0.271346

0.3

 1.31004

-0.785828

 1.30176

-0.849621

 1.30849

-0.782554

 1.31125

-0.802579

0.4

 1.30354

-1.20604

 1.29100

-1.28147

 1.30167

-1.20189

 1.30354

-1.20605

0.5

 1.25599

-1.52886

 1.23917

-1.61178

 1.25389

-1.52399

 1.25944

-1.55740

0.6

 1.17619

-1.75579

 1.15542

-1.84257

 1.17395

-1.75039

 1.17618

-1.75580

0.7

 1.07265

-1.89209

 1.04854

-1.97973

 1.07033

-1.88633

 1.07991

-1.92961

0.8

0.953246

-1.94585

0.926640

-2.03193

0.950907

-1.93991

0.953243

-1.94586

0.9

0.825009

-1.92713

0.796891

-2.00986

0.822699

-1.92120

0.837584

-1.97248

1.0

0.693974

-1.84722

0.665412

-1.92534

0.691726

-1.84145

0.693977

-1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных  уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Просмотров: 1628

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.