русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Преобразование вращения

Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.

Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и/или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.

Матрица  S  называется унитарной, если  ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица  равна обратной матрице:

Известной унитарной матрицей является матрица вращения,которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор  поворачивается на угол  путем умножения на матрицу

Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на  и слева на . Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.

Поворот вектора в многомерном пространстве  на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол.  Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.

Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера  следующим образом:

  .

Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости   на угол .

Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол  записываются так:

 .

Условие превращения в нуль ij-тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:

.

.

Угол поворота, при котором  , находится из уравнения 

 .

Разделив на    и  обозначив   , , получим квадратное уравнение  для тангенса  требуемого угла поворота

 .

Из двух решений  для тангенса выбирается такое, чтобы  . В этом случае . Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований  получаются следующие формулы:

Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i-той и j-той строчках  и на i-том и j-том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла  в соответствии с формулами, где j>i:

преобразования строк   –   ;

преобразование столбцов –.

На пересечениях i-й  строки  и  i-того столбца  и  j-й  строки  и  j-того столбца располагаются соответственно вычисленные выше  и ,  а на местах ij-того  и  ji-того элементов вставляются нули.

Для приведения к диагональной матрице необходимо выполнить  таких элементарных преобразований.

Просмотров: 1279

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.