русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Оценка величины и нахождение собственных значений

Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.

Для любой матрицы  A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v  существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов   v   и  Aс минимальным и максимальным собственными значениями:

  .

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или  оказывается вырожденной.

Характеристическое уравнение  матрицы A с кратным корнем  можно записать в виде

 .

На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение      , для которого матрица A также является корнем:

  .

Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера  с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме  жордановых блоков  или к  канонической жордановой форме:

 ,

где          A – произвольная матрица размера  ;

 – жорданов блок размера ;

V  – некоторая невырожденная матрица размера   .

Характеристическое уравнение жорданова блока размера  независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения   одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только  кратных корней:

 .

Если выразить матрицу V  в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов  , то из равенства  AV=VJ  для каждого жорданового блока следует соотношение

 .

Здесь  в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.

При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит  в замене исходной системы эквивалентной системой:

.

Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением  , оказывается больше, чем у матрицы  A.

Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.

Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.

Просмотров: 1419

Вернуться в оглавление:Введение в численные методы



Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с. – На русск. яз.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.