Пример использования числовых характеристик матриц

Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр.

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями  и собственными векторами, основанными на векторах .

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта.

Для заданных векторов построим систему векторов  таких, что   ,   следующим образом:

Откуда последовательно находятся коэффициенты :

Взаимной ортогональности векторов v  можно было бы добиваться и так, чтобы каждый  был ортогонален каждому , положив  и приравняв нулю скалярные произведения :

Определитель этой системы называют определителем Грама:

 ,

где          - матрица, в общем случае комплексно сопряженная с матрицей

 , составленной  из заданных векторов.

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы  линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость.

Для заданного выше набора векторов  определитель произведения  матрицы  X  на  транспонированную  X*  будет равен

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы:

После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т-матрица с этими векторами есть -матрица (); ее строки являются собственными левосторонними векторами:

.

Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора  самого на себя дает нам проекторы искомой матрицы:

Умножая каждое собственное значение  из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим:

  .

Аналогично получается обратная матрица:

 .

С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A:

 .