Розрахувати інтервали можливої зміни ціни одиниці кожного виду продукції.

Розв'язування. 1. Математичні моделі прямої та двоїстої задачі мають такий вигляд:

де - обсяг виробництва продукції j-го виду ()

де - оцінка одиниці і-го виду ресурсу ().

2. З наведеної симплекс-таблиці маємо:

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції С і Д у кількості відповідно 35 та 45 од. Випуск продукції А та В не передбачається . Додаткові змінні характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки , другий ресурс використовується у процесі виробництва продукції не повністю, а перший та третій ресурси — повністю . За такого оптимального плану виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 285 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, та відмінні від нуля, а ресурси 1 та 2 використовуються повністю. Двоїста оцінка і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва продукції. Це підтверджується також попереднім аналізом додаткових змінних оптимального плану прямої задачі. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: ум. од.

3. Статус ресурсів прямої задачі можна визначити трьома способами. Перший — підстановкою у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у противному разі — недефіцитний.

Другий спосіб – за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний.

Третій спосіб – за допомогою двоїстих оцінок. Якщо , то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо , то і- й ресурс недефіцитний. Так,

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю , то цільова функція збільшиться за інших однакових умов на ум. од. і становитиме ум. од. Але за рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід підприємства? Інформацію про це дають елементи стовпчика «» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці . У новому оптимальному плані значення базисної змінної збільшиться на 1/2, змінної— зменшиться на одиницю, а — на 1/2. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення змінних будуть такими:

=(0; 0; 34,5; 45,5; 0; 29; 0).

Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та падіння виробництва продукції С, а обсяг використання ресурсу 2 збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде , тобто зросте на .

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 2 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю. Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці , можна записати новий оптимальний план:

Отже, дохід підприємства збільшиться на дві умовні одиниці за рахунок збільшення виробництва продукції С на дві одиниці та зменшення випуску продукції Д на одну одиницю. При цьому обсяг використання ресурсу 2 не змінюється.

Але після проведеного аналізу постає логічне запитання: а чи зберігатимуться встановлені пропорції, якщо запас дефіцитного ресурсу змінити не на одиницю, а наприклад, на 10 ум. од.? Щоб однозначно відповісти на поставлене запитання, необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 1 позначимо. Тоді, якщо , то новий оптимальний план

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, — це умова невід'ємності, тобто

Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 30 ум. од. або зменшиться на 90 ум. од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 1 залишиться . Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах

Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах

а оптимальний план виробництва продукції

(0; 0; 80; 0; 0; 120; 0) (0; 0; 20; 60; 0; 0; 0).

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки дефіцитного ресурсу 3:

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 45 ум. од. або зменшиться на 17,5 ум. од., то двоїста оцінка цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно із цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах

(0; 0; 0; 62,5; 0; 30; 0) (0; 0; 125; 0; 0; 30; 0).

Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише випадків, коли змінюється тільки один ресурс, а запаси всіх інших фіксовані, тобто за інших однакових умов. У разі одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів підхід до визначення нового оптимального плану дещо інший.

4. За умовою задачі обсяги всіх трьох ресурсів змінюються відповідно . Для визначення компонентів нового оптимального плану скористаємось одним із головних співвідношень обчислювальної процедури симплекс-методу:

З останньої симплекс-таблиці можна записати обернену матрицю:

Змінені запаси ресурсів утворюють вектор

Тоді новий оптимальний план виробництва продукції за відповідної одночасної зміни запасів усіх трьох ресурсів

тобто X^*(0; 0; 70; 30; 0; 10; 0).

Усі , і тому оптимальним планом двоїстої задачі залишається =(1/2; 0; 2). Загальний максимальний дохід підприємства зміниться на ум. од. і становитиме ум. од.