Математичне моделювання - явище досить складне. Звичайно говорять про процедуру складання моделі й про те, якою мірою моделі відбивають реальне життя. Необхідно мати у виді всі сторони цього явища. Математичні моделі використаються в остаточному підсумку для прогнозу розвитку процесів у часі, стану, у якому буде перебувати об'єкт, його властивостей, якщо виконуються певні умови. Для того, щоб одержати цей прогноз практично, недостатньо скласти модель. Необхідно розробити й реалізувати процедуру обчислення, що нас цікавлять, характеристик досліджуваного процесу, ідентифікувати модель, тобто визначити утримуючі в ній так називані зовнішні величини (коефіцієнти, параметри, фактори), переконатися, що модель адекватна, тобто дає практично прийнятні прогнози. Необхідно, нарешті, давати цей прогноз у тих випадках, коли це потрібно. Термін «технологія математичного моделювання» буде використатися для позначення сукупності всіх перерахованих дій, необхідних для практичного одержання прогнозу плину процесу або прогнозу властивостей об'єктів, - від складання математичної моделі до обчислення прогнозованих величин.
Математичне моделювання часто починається з необхідності прогнозування розвитку деякого процесу в часі. Акт математичного моделювання починається із введення системи величин, повністю (з погляду тих практичних потреб, які викликали необхідність одержання прогнозу) характеризуючих процес. Наступним кроком є запис співвідношень (залежностей, зв'язків) між уведеними величинами. Ці співвідношення виникають в остаточному підсумку зі спостереження, з досвіду і є результатом інтуїтивного осмислення суті процесу. Суть математичного моделювання складається в одержанні строгих, однозначно зрозумілих співвідношення між уведеними характеристиками процесу шляхом зневаги тим, що в ньому з погляду цілей, які ставляться при моделюванні, можна вважати неголовним, несуттєвим. Ці співвідношення можна вивчати чисто математичними засобами, тобто витягати з них формальні наслідки, відволікаючись від їхнього змістовного змісту. Математика саме і є наука, у рамках якої розробляються способи одержання різноманітних наслідків строгих співвідношень (залежностей, зв'язків) між деякими абстрактними характеристиками реальних процесів, явищ. Ціна, що доводиться платити за саму можливість одержувати ці наслідки, - зневага чимсь у досліджуваному процесі, позбавлення його «фарб», лише одному йому властивих рис, його «унікальності», тобто перехід від даного конкретного процесу до його абстрактної схеми. Гуманітарні науки й мистецтво, навпаки, вивчають процеси і явища, цікавлячись саме їхньою унікальністю, неповторністю. Неважко помітити, що одне без іншого існувати не може.
Процес визначення зовнішніх величин моделі називається її ідентифікацією. Ідентифікація математичних моделей - істотна частина технології математичного моделювання. У багатьох випадках витрати на ідентифікацію перевершують (часто на порядок) всі інші витрати, пов'язані з використанням технології математичного моделювання для прогнозу розвитку реальних процесів. Ідентифікація моделі тісно пов'язана з її верифікацією - установленням її адекватності, тобто відповідності її результатів реальному плину прогнозованого з її допомогою процесу. «Стандартний» спосіб ідентифікації полягає в тому, що експериментально виміряються внутрішні величини моделі (або деякі їхні функції), а її зовнішні величини підбираються так, щоб прогноз, отриманий за допомогою моделі із цими зовнішніми величинами, у деякому змісті найменшим образом відрізнявся від експериментальних вимірів. Цей спосіб дає одночасно деяке подання й про адекватність моделі: якщо зовнішні величини вдалося підібрати так, що відмінність теоретичного прогнозу від експериментальних вимірів задовільно із практичної точки зору, те це дає надію на те, що модель виявиться адекватною. Повну ж упевненість в адекватності моделі дає досвід її експлуатації: якщо в процесі експлуатації моделі не виникає очевидних протиріч між її прогнозом, що дає, і реальним положенням справ, те модель уважається адекватною. Модель, неадекватність якої з'ясувалася в процесі експлуатації, або піддається корекції, або доповнюється, або взагалі заміняється нової. Кожна модель адекватна в якихось рамках, у якихось межах і при виході за ці межі повинна коректуватися, доповнюватися або замінятися нової.
Технологія математичного моделювання містить наступні етапи: складання моделі, ідентифікація й верифікація моделі, експлуатація моделі. Виконання кожного етапу може викликати повернення на більше ранні етапи: на кожному етапі може виявитися необхідним вносити корективи в складену модель, тобто повертатися в першому етапу, на етапі ідентифікації може виявитися необхідним вносити корективи в алгоритм розрахунку зовнішніх величин моделі по внутрішніх величинах і т.д. Маючи на увазі ця обставина, будемо говорити далі про технологічні цикли математичного моделювання.
Етап складання моделі. Угадування величин, що характеризує реальний процес, як можна більше консервативних, як можна більше незалежних від часу, відстаней, місць розташування, інших характеристик реальних процесів у межах точності, прийнятної для практичних цілей. Поступування деяких інваріантностей, іменованих звичайно законами. Інваріанти, що фігурують у математичних моделях, є їхніми зовнішніми величинами. Гіпотези про інваріантність певних величин виникають із досвіду, з вимірів реальних величин, з обробки цих вимірів. Математичне моделювання тому немислимо без вимірювальної техніки.
Етап розробки й реалізації процедури обчислення внутрішніх величин моделі по її зовнішніх величинах. Перше питання, що тут виникає: чи існує в принципі така процедура. Для простих моделей відповідь на це питання часто буває очевидним. Для більше складних моделей це є предметом спеціального математичного аналізу. Для багатьох типів моделей твердження про те, що це має місце, називаються теоремами існування й одиничності. Математичні моделі, для яких вийшло довести теорему існування й одиничності, прийнято називати замкнутими. Після встановлення замкнутості моделі необхідно розробити процедуру обчислення внутрішніх величин по зовнішнім. Якщо ця процедура має вигляд аналітичний формули, то часто таку модель називають аналітичною. Для тих замкнутих математичних моделей, для яких аналітичних формул, що дають внутрішні величини, не існує (або вони існують, але ми не зуміли виявити цей факт) виникає проблема розробки чисельної процедури, що дає значення внутрішніх величин і функцій від них, які нас цікавлять, із заданою точністю. Ця проблема вирішується в рамках напрямку в математику, що називається обчислювальною математикою або чисельними методами. Після цього необхідно скласти програму на ЕОМ, що реалізує цю чисельну процедуру.
Етап експлуатації моделі. Цей етап істотно залежить від попередні. Інакше кажучи, етап експлуатації залежить про обсяг інформації, що необхідна для виконання обчислень, що цікавлять, величин і від об'єму самих обчислень. Залежно від цих об'ємів можна виділити три основні форми експлуатації математичних моделей, якщо під експлуатацією розуміти акти здійснення прогнозу розвитку моделює мого процесу або прогнозу його властивостей шляхом реалізації процедури обчислення внутрішніх величин моделі по відомих зовнішніх величинах. Перша форма - це аналітичні розрахункові формули. Друга форма експлуатації моделей - програми на ЕОМ, що розраховують нас, що цікавлять, функції внутрішніх величин по зовнішніх величинах, що задають. Ці форми трактуються як основні. Крім цих форм є різні їхні проміжні варіанти й комбінації. Третя форма експлуатації моделей - це так називані проблемно-орієнтовані інтерактивні системи. Інтерактивні системи разом із програмою, що реалізує розрахунки величин, що цікавлять, містять також засобу, що дозволяють у діалозі з ЕОМ маніпулювати зовнішніми величинами, візуалізувати й обробляти різним образом результати розрахунків. Інтерактивні системи є результатом з'єднання традиційної технології математичного моделювання з інформаційною технологією, що виникла на базі ЕОМ.
Розглянемо особливості двох основних класів моделей:
q аналітичних,
q ідентифікуємих
