Обчислення площі трикутника.

Нехай дано трикутник з вершинами у точках і Знайдемо площу трикутника АВС . Розглянемо два вектори і , що збігаються із сторонами трикутника АВС (рис. 3.4). Модуль векторного добутку , згідно з означенням,

Рис. 5.4.

дорівнює площі паралелограма Тоді площа трикутника : . Знайдемо вектори і :

.

Тоді площа трикутнику

Розглянемо вектор , який дорівнює добутку векторів і

Проекція вектора на координатній осі будуть

, а довжина

Тоді площа трикутника можна записати у вигляді

.

Розглянемо окремий випадок, коли трикутник лежить в одній з координатних площин, наприклад у площині При цьому а проекції вектора дорівнюють відповідно

Площа трикутника, який лежить у площині з вершинами в точках

і дорівнює

Визначник другого порядку в останній формулі можна записати у вигляді визначника третього порядку:

Тоді площа трикутника може бути виражена формулою: .

Аналогічно можна записати формули площ трикутників, які лежать у координатних площинах і .

◄Приклад 5.5. Знайти площу трикутника, вершини якого розміщено в точках , і .

Розв’зання. Маємо

тоді

(кв. од.).

Відповідь:

◄Приклад 5.6. Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і за умови, що , , а кут .
Розв’язання:

. Тому
.

Відповідь: (од. кв.)