Основне рівняння динаміки обертального руху

Використаємо рівняння моментів відносно осі щоб розглянути даний обертальний рух.

Рис. 6

Тіло яке обертається навколо осі Z, розіб’ємо на елементарних об’ємів, що мають масу . Момент імпульсу і-того елементарного об’єму відносно осі Z буде дорівнювати

.

Враховуючи, що вектори та перпендикулярні і те, що , знаходимо, що:

Вектор моменту імпульсу напрямлений перпендикулярно до площини векторів та і складає кут з віссю Z. Проекція цього вектора на вісь обертання називається моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі обертання. Проводячи послідовний векторний добуток знаходимо, що:

. (22)

Так як , то отримаємо:

.

Момент імпульсу усього тіла відносно осі Z дорівнює сумі моментів імпульсів відносно осі для N елементарних об’ємів, тобто:

. (23)

Величину, яка дорівнює

(24)

називають моментом інерції тіла відносно осі обертання. Якщо підставити у рівняння (23), то:

. (25)

У випадку, коли момент інерції не змінюється з часом згідно зі зміною миттєвої конфігурації системи, рівняння (25) приймає вигляд:

,

- момент усіх зовнішніх сил відносно осі обертання. Це і є основне рівняння динаміки обертального руху навколо нерухомої осі.

Момент імпульсу часто називають обертальним імпульсом системи.

Похідна обертального імпульсу системи по часу дорівнює моменту зовнішніх сил відносно осі обертання. Якщо момент зовнішніх сил відносно осі обертання дорівнює нулю, то обертальний імпульс:

.

Якщо на тіло не діє результуюча обертальна сила, то воно обертається без прискорення.

Лекція 6