Властивості операцій над множинами.

Нехай задана універсальна множина U. Тоді для любих A, B, C , справедливі слідуючі властивості:

1. Ідемпотентність.

2. Комутативність.

3. Асоціативність.

АÇ (ВÇС)=(АÇВ) ÇС

4. Дистрибутивність.

І закон.

ІІ закон.

5. Поглинання.

6. Властивість тотожності (нуля).

7. Властивість одиниці.

8. Інволютивність.(двойне доповнення)

(А')'=А

9. Закон де Моргана.

(AÈB)'= А'ÇВ' (AÇB)'= А'ÈВ'

10. Властивість доповнення.

АÈ А'=U AÇ А'=Æ

11. Вираз для різниці.

A-B=АÇВ'

В справедливості перерахованих властивостей можна впевнитися різними способами. Наприклад, намалювати діаграми Венна для лівої і правої частини і впевнитися, що вони співпадають, або ж провести формальне доведення.

Довести закон де Моргана (AÈB)'= А'ÇВ'.

Розв’язання.

Доведемо, що і . Нехай . Тоді , отже

Нехай тепер . Маємо: . Отже, , що і доводить рівність.

Довести включення (В-С)-(В-А) Ì А-С.

Розв’язання.

Необхідно встановити, що будь-який елемент лівої частини включення є також елементом правої і встановити, що у правій частині існує такий елемент, який не входить у ліву. Нехай елемент x Î А-С. Тоді x Î А, але x Ï С. Якщо x Î B, то x Î B-С і x Ï B-A. Тому x Î (B-С)-(B-A). Якщо ж x Ï B, то x Ï B-С, і тому x Ï (B-С)-(B-A). Отже, у правій частині є елемент, який не належить лівій, що й доводить правильність включення.