Розмірність Мінковського

Розглянемо відомі вирази для довжини, площі та об’єму “кулі” в евклідовому просторі. Довжина “кулі” радіусу r в R складає 2r. Площина “кулі” r в R² дорівнює πr². Нарешті, об’єму кулі радіуса R³ дорівнює 4/3πr³. Відповідні формули в евклідовому просторі любого (цілого) числа вимірів добру відомі:

(1.1)

де Г(х) – Гама-функція: x > 0.

Це неперервна функція додатного аргументу, що інтерполює факторіал наступним чином: n =0,1,2,…

Перший крок у побудові теорії дробової розмірності лежить у визначеності d-міри кулі радіусу r в Rⁿ , де d – любе невід’ємне дійсне число. Це досягається поширенням формули (1.1) на всі дійсні d > 0. Наприклад, об’єм (міра) кулі в 3/2-мірному просторі визначається як . Зауважимо, що конкретне значення коефіцієнта в (1.1) не грає ніякої ролі в наших подальших міркуваннях і його можна вважати константою.

Наступний крок полягає в переносі поняття d –міри з кулі на будь-яку довільну множину A⊂Rⁿ . Для цього апроксимуємо А об’єднанням куль та просумуємо їх об’єми (рис.1).

Мал.1 Апроксимація А об’єднанням куль.

Нехай - мінімальне число шарів радіуса , що необхідні для покриття компактної множини А. Тоді d –міра А, яку позначимо як , задовольняє (приблизно):

.

Вважаючи, що , для деякого с > 0 має місце:

.

Після логарифмування лівої та правої частини отримуємо:

.

Тобто

Так як при , то розмірність Мінковського

(1.2).

Якщо ліміт існує, то вираз (1.2) визначає розмірність Мінковського множини А. Інколи також використовують дробова розмірність.

Зауважимо, що у нашому визначені упущені технічні деталі. Так, можна визначити дві величини – верхню та нижню границі розмірності, для яких знак lim в (1.2) зміниться на lim sup та lim inf , відповідно. Якщо значення верхньої та нижньої границі співпадають, тобто ліміт в (1.2) існує, то розмірність Мінковського дорівнює цьому значенню.

З алгоритмами визначення розмірності Мінковського можна ознайомитися в [5]. Алгоритм визначення фрактальної розмірності ( алгоритм Грассбергера та Прокаччі) буде представлений нижче.