Системи координат

У математиці широко застосовується наступне поняття прямокутної системи координат. Якщо зобразити три осі координат 0X,0Y,0Zі на цих осях відкласти три одиночних вектори i, j, k, те система координат рис. 2.6 називається правої, якщо поворот вектора i, що сполучає його з вектором j, по найкоротшому шляху відбувається проти вартовий стрілки для спостерігача, поміщеного наприкінці осі 0Z. Мається правило правої руки для запам'ятовування цього факту: великий палець (вісь 0Z) спрямований нагору, вказівний палець (вісь 0Х) спрямований уперед, середній палець (вісь 0У) спрямований уліво.

Якщо вектор i спрямований у протилежну сторону, то система координат називається лівої. Відповідно працює правило лівої руки.

Для опису руху навігаційного супутника використовується геоцентрична інерціальна система координат (рис. 2.7).Початок координат Про знаходиться в центрі мас Землі. Вісь ОХ₀ лежить в екваторіальній площині і спрямована в крапку весняного рівнодення g, вісь OZ₀ збігається з віссю обертання Землі і спрямована на Північний полюс Землі, вісь ОУ₀ доповнює систему до правої.

Другою використовуваний системою координат є геоцентрична гринвичська (обертова) прямокутна система рис. 3 8. Початок координат також знаходиться в центрі мас Землі О. Вісь ОХ спрямована в крапку перетинання Гринвічського меридіана з екватором, вісь OZ збігається з віссю обертання Землі і спрямована на Північний полюс Землі, вісь ОУ доповнює систему до правої.

Оскільки Земля обертається, те ця система координат є також обертова.

Кут між осями ОХ₀ і позначено ОХ далі через S відповідає гринвичському зоряному часу.

Узагалі, якщо говорити про систему координат, то можна виділити три поняття: місцева, геоцентрична инерциальна (рис. 2.7) і геоцентрична гринвичска (обертова) прямокутна (рис. 2.8).

У місцевій системі координат, традиційно, національні топографічні служби визначали форму поверхні Землі найбільше точно відповідної території держави як базис для картографії.

Геоцентричні системи координат: інерциальна і гринвическая (обертова) застосовуються ув супутникової радіонавігації.

Зв'язок між ініціальною і обертової системами координат дається співвідношеннями:

(1)

(2)

де: S = S₀ + t_;

S₀ –грінвічський зоряний час;  - швидкість обертання Землі; X, Y, Z – координати инерціальної системи; x, y, z - координати гринвическої системи;

V_X, V_Y, V_Z – швидкості уздовж відповідних осей у інерциальній системі;

v_x, v_y, v_z - швидкості уздовж відповідних осей у гринвичській системі

Розглянемо поняття геодезичної основи.

Міжнародним геодезичним суспільством прийняті наступні визначення:

Геодезична система відліку (GRS- Geodetic reference system): концепція прив'язаної до Землі прямокутної системи координат (ОХ, ОУ,OZ).

Геодезична опорна система (GRF- Geodetic reference frame): практична реалізація геодезичної системи відліку, отримана шляхом спостережень.

Різниця між системою відліку й опорною системою в тім, що перша це теоретичне визначення, а друга практична реалізація першої, отримана за допомогою спостережень і вимірів з відповідними похибками.

Поняття глобальної GRS збігається з визначенням даним вище.

У місцевої GRS – початок координат і напрямку осей досить довільні.

Геодезична основа тісно зв'язана з формою поверхні Землі.

Як відомо на ранній стадії вважалося, що Земля має форму кулі. Пізніше як фігуру Землі був прийнятий еліпсоїд. Це геометричні наближення. Узагалі ж форма Землі є геоид - тобто динамічна вирівняна поверхня еквипотенціальна гравітаційному полю Землі. Визначення форми геоида є однієї з основних задач геодезії. Форма геоида насамперед важлива для визначення висоти.

Геоид визначаться, як ідеалізована поверхня океану, що проходить під материками. Ця поверхня збігається з двома третинами поверхні Землі.

На практиці форму геоїда визначають за спостереженнями за «середнім рівнем моря». При цьому має місце відхилення від ідеалізиємого геоїда, що досягає до 2 м, зв'язані з вітрами, зміною складу води.

Не дивлячись на те, що Земля як геоид добре вивчена і продовжує вивчатися і досліджуватися, поверхня Землі апроксимується еліпсоїдом. На рис. 2.9 зображена така апроксимація.

Висота над поверхнею геоїда називається «ортометричною висотою».

Ортометричнависота Н визначається формулою

H=h –N, де

h – висота над еліпсоїдом;

N – висота хвилі геоида.

Оскільки геоїд математично описати досить складно, те поверхня Землі апроксимують еліпсоїдом. Еліпсоїд одержують при обертанні меридіанного еліпса навколо його малої осі. Форма еліпсоїда описується геометричними параметрами:

великою піввіссю a, малою піввіссю b,замість b використовують також параметр , називаний сплюснутістю.

Розглянемо еліпсоїдні географічні координати і просторову еліпсоїдну систему координат.

Еліпсоїдальні географічні координати (рис.2.10) визначаються таким чином: початок системи координат «ОБ» – центр маси Землі; географічна (геодезична) широта  - кут у меридіанній площині між екваторіальною площиною ХОУ і нормаллю до поверхні еліпсоїда в крапці Р; географічна (геодезична) довгота λ - кут в екваторіальній площині між грінвичеським меридіаном і площиною меридіана, що проходить через крапку Р.

Просторова еліпсоїдна система координат (рис. 2.11) характеризується тим, що еліпсоїдна географічна система координат доповнюється параметрами, що забезпечують визначення висоти h над еліпсоїдом. При цьому будь-яка крапка в просторі задається координатами Φ, λ, h і формою еліпсоїда (а, f).

Висота h над еліпсоїдом виміряється уздовж нормалі до його поверхні.

Таким чином, ми маємо загальне представлення про системи координат, геодезичних основах, опорних геодезичних основах.

У світі існує досить велика кількість опорних геодезичних основ. Кожна геодезична основа була долучена шляхом припасування математичної моделі Землі в конкретному регіоні під щиру форму геоїда з метою зведення до мінімуму розбіжностей між обраною моделлю (еліпсоїдом) і геоїдом.

Проблеми в області аеронавігації, зв'язані з застосуванням різних геодезичних основ виникли на початку 1970 років при створенні радіолокаційних систем спостереження для Маастрихтського центру верхнього повітряного простору.

Дані з радіолокаторів Бельгії, Німеччини і Нідерландів оброблялися для одержання лінії шляху повітряних судів. Було встановлено, що розбіжності між радіолокаційними вимірами є результатами використання несумісних координат різних геодезичних основ.

У таблиці 2.1, для приклада, приведені розбіжності в значеннях широти і довготи між координатами національних систем і всесвітньою геодезичною системою 72 року.

Таблиця 2.1

Знаючи, що одна кутова секунда на поверхні Землі відповідає, приблизно, 31 метру можна укласти ,що розбіжність при застосуванні різних геодезичних основ може досягати сотень метрів.

Слід зазначити також, що в більшості місцевих геодезичних основ центр початку координат не збігається з центром мас Землі.

Наскільки істотним є цей факт при застосуванні супутникових навігаційних систем можна судити тому, що дані видавані цими системами визначаються щодо центра мас Землі в силу того, що орбіти супутників також розраховуються щодо центра ваги Землі. Те ж можна сказати і про гіроскопічні системи.

Усе вище викладене говорить про доцільність застосування єдиної системи координат. В даний час такою системою для цивільної авіації є WGS –84.

31 березня 1989 року на 13 засіданні 126 сесії Рада Міжнародної організації цивільної авіації затвердив рекомендацію 3.211 четвертої наради спеціального комітету з майбутніх аеронавігаційних систем (FANS/4) у наступній редакції:

ИКАО рекомендує прийняти в якості стандартної геодезичну систему WGS – 84 і розробити матеріал для забезпечення швидкого і повсюдного її впровадження.

Глобальна система координат WGS – 84 визначена в такий спосіб.

Початок координат 0 розташуванні в центрі маси Землі;

вісь 0Х – перетинання площини вихідного меридіана WGS – 84 і площини екватора;

вісь 0Z – спрямована на Північний полюс Землі;

вісь 0У – доповнює систему до правої.

Вихідний меридіан WGS – 84 збігається з нульовим меридіаном визначеним Міжнародним бюро часу (BIN).

Крім того, основними параметрами WGS – 84 є дані приведені в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

Параметри	Позначення	Значення WGS – 84
Велика піввісь еліпсоїда	а	6378137 м
Сплюснутість	f	1/298,257223563
Кутова швидкість обертання Землі		7,292115·10-5 рад/сек.
Геоцентрична гравітаційна постійна з урахуванням маси атмосфери Землі	GM	398600,5 км3/сек2
Нормалізований коефіцієнт другої зональної гармоніки гравітаційного потенціалу		- 484,16685·10-6