ЧАСТЬ 2. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

А·А^-1 = А^-1·А = Е, (3.1)

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

3.2. Обратная матрица

Теорема 3.1.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

, причем det А ≠ 0.

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц А и А^*

т. е. А·А* = det A·E (3.2)

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

А*·А = det A·E (3.2)

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

и

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

, т.е

Отметим свойства обратной матрицы:

1. ;

2. (А·В)^-1 = В^-1·А^-1;

3. (А^-1)^Т = (А^Т)^-1

Пример 3.1. Найти А^-1, если А =

= 2 + 3 = 5^0.

Решение: 1) Находим det A:

2) Находим А*: А₁₁ = 1, А₂₁ = -3, A₁₂ = -(-1) = 1, А₂₂= 2, поэтому

3) Находим А^-1:

Проверка:

Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует матрица,
обратная данной: .

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:

Если 4λ - 9 ≠ 0, т. е. λ ≠ 9/4, то ΔА ≠ 0, т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если

,

Решение: Найдем произведение матриц А и В:

Аналогично В · А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.

3.3 Ранг -матрицы

Рассмотрим матрицу А размера, т х п.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где - число сочетаний из п элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(А) или rang A.

Очевидно, что 0 ≤ г ≤ min(m; n), где min(m; n) — меньшее из чисел m и п.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, r(А) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не из­менится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ма­трицы (см. с. 12).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагона­ли. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

то есть

Таким образом, ранг матрицы А равен r(А) = 2.