Метод простых итераций

Лабораторная работа №5

Тема: Решение СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Цель: изучение приемов численного решения систем линейных уравнений с помощью функций MathCAD.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Рассмотреть пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

3. Выполнить практическое задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета

1. Тема, цель работы.

2. Практическое задание:

2.1. Постановка задачи.

2.2. Результаты выполнения.

3. Ответы на контрольные вопросы.

4. Вывод.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Итерационные методы – это методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Метод простых итераций

Пусть дана линейная система (1).

(1)

Систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения:

Предполагая, что диагональные коэффициенты

a_ij ¹ 0 (i = 1, 2, …, n),

разрешим первое уравнение системы (1) относительно х₁, второе – относительно х₂ и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(3)

где

при i ¹ j

и a _ij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).

Введя матрицы

Систему (3) можно записать в матричной форме

x = b + ax,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(4¢)

Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.

Теорема:Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы a меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

(5)

Следствие 1. Процесс итерации для системы (3) сходится, если:

1) < 1 (m-норма или неопределенная норма)

или

2) < 1 (l-норма или норма L1)

или

3) < 1 (k-норма или Евклидова норма).

Следствие 2. Для системы (1) процесс итерации сходится, если выполнены неравенства:

1) или 2) ,

где штрих у знака суммы означает, что при суммировании пропускаются значения i = j, т. е. сходимость имеет место, если модули диагональных элементов матрицы А системы (1) или для каждой строки превышают сумму модулей недиагональных элементов этой строки, или же для каждого столбца превышают сумму модулей недиагональных элементов этого столбца.

Например, пусть

.

Имеем:

max(1+ 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) = max (6, 15, 24) = 24;

max(1+ 4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 + 6 + 9) = max (12, 15, 18) = 18;

.

В Mathcad существуют специальные функции для вычисления нормы матрицы:

normi(A) Возвращает неопределенную норму матрицы А.

norm1(A) Возвращает L1, норму матрицы А.

normе(A)Возвращает Евклидову норму матрицы А.

В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять условие

где e - заданная погрешность приближенного решения х » x^{(k +1)}.

Пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Решить систему методом простых итераций:

Результат на экране: