Зонный характер энергетического спектра электронов в кристаллах.

Валентные электроны движутся в металле не совсем свободно - на них действует периодическое поле решетки. Это обстоятельство приводит к тому, что спектр возможных значений энергии электронов распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон. В пределах разрешенных зон энергия изменяется квазинепрерывно. Значения энергии, принадлежащие запрещенным зонам, не могут реализоваться.

Возьмем два атома, удаленных друг от друга на большом расстоянии друг от друга так, что они не взаимодействуют. Рассмотрим, к чему качественно приводит взаимодействие этих атомов при их сближении. Для простоты заменим реальный атом одномерным гармоническим осциллятором массой m и собственной частотой колебаний . При отклонении от положения равновесия на и , осцилляторы получают потенциальные энергии и . Пока осцилляторы раздвинуты достаточно далеко, гамильтониан системы осцилляторов можно представить в виде: , где , и . Осцилляторы ведут себя независимо друг от друга. Энергия каждого из них квантуется и равна . Энергия системы равна сумме энергий обоих осцилляторов. Ввиду тождественности осцилляторов одна и та же энергия Е может быть

представлена двумя способами: либо как (здесь осциллятор I имеет энергию , а осциллятор II имеет энергию ), либо (здесь осциллятор I имеет энергию , а осциллятор II имеет энергию ). Это означает, что энергетический уровень Е системы осцилляторов двукратно вырожден.

При сближении осцилляторов начинают взаимодействовать дипольные моменты и . Потенциальная энергия взаимодействия этих диполей равна , где R – расстояние между осцилляторами. В этом случае гамильтониан системы осцилляторов

Введем так называемые нормальные координаты и :

, . Тогда

.

.

Потенциальная энергия:

Таким образом, гамильтониан системы .

Вид гамильтониана показывает, что в нормальных координатах и система совершает два независимых колебания с частотами и . Введение нормальных координат формально соответствует переходу к описанию движения системы осцилляторов посредством двух квазичастиц, гармонически колеблющихся с частотами и . Движение каждой квазичастицы описывает не движение отдельного осциллятора, а обоих осцилляторов вместе. Общее движение всей системы складывается из наложения движений обеих квазичастиц. Энергия первой квазичастицы , энергия второй , причем оба эти уровня не вырождены. Таким образом, в результате взаимодействия происходит расщепление двукратно вырожденного энергетического уровня на два с частотами и .