В общей задаче требуется найти вектор
из допустимой области , который обращает в минимум целевую функцию q(x), т.е. такой , для которого
(1)
Если существует, то он определяет слабый, глобальный (абсолютный) минимум q*(x) в допустимой . Слабый, т.к. удовлетворяет нестрогому неравенству. Глобальный, т.к. неравенство справедливо для любых x из области X. Минимум при сильный, если для . Если поменять знаки неравенств – получим сильный и слабый максимумы. Минимум в точке называется локальным (относительным), если найдётся такая окрестность O(x*) точки , что для всех имеет место . Если дифференцируема, то задача отыскания локальных минимумов сводится к нахождению стационарных точек, в которых обращаются в ноль частные производные q(x):
(2)
(2) – необходимое, но не достаточное условие. Достаточным условием существования в стационарной точке относительного минимума является положительная определённость квадратичной формы.