Равновесие в модели динамического МОБ.

Рассмотренная в параграфе 2.1. модель динамического межотраслевого баланса была сведена к модели Неймана путём определения соответствующих матриц и (см. ).

Однако в матрице есть отрицательные элементы, в матрице – нулевые столбцы и строки, поэтому к этой модели нельзя применять теорему 2.2 о существовании равновесия. Поэтому такую модель называют не моделью Неймана, а моделью неймановского типа.

Будем считать, что темпу роста соответствует луч Неймана , если , , , – допустимый вектор в задаче МОБ.

Подставляя данный вектор в условия –, получаем систему неравенств для нахождения луча Неймана:

.

Найдём условия, при которых система условий имеет нетривиальное решение.

Пусть , , , . . Заметим, что в этом случае

.

Поэтому .

Попробуем найти решение, удовлетворяющее системе равенств

.

Тогда , . Первое равенство принимает вид:

, или .

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) и ( , ) ( ) (всякое увеличение мощностей требует материальных затрат).

2) , число Фробениуса матрицы меньше единицы (экономический смысл условия – технология, задаваемая матрицей , векторами и , позволяет каждому работающему «прокормить себя»).

Лемма 2.2. Пусть – квадратная неотрицательная матрица, непрерывно зависящая от на отрезке , . Пусть и – числа Фробениуса неотрицательной матрицы и .

Если и , то задача:

.

имеем единственное решение , причём

1) ;

2) – число Фробениуса матрицы , которому соответствует вектор ;

3) и .

Теорема 2.4.В модели существуют положение равновесия с темпом роста , которому соответствует единственный луч Неймана , причём:

1) – число Фробениуса матрицы .

2) – правый вектор Фробениуса матрицы , соответствующий ;

3) , , .

Доказательство. Рассмотрим задачу:

.

; число Фробениуса матрицы больше нуля (по условию 1). ; число Фробениуса матрицы удовлетворяет условию .

Для доказательства теоремы воспользуемся доказанной леммой, согласно которой существует решение уравнения , такое что . Выполнение условия гарантирует выполнение условий при , , . Теорема доказана.

Замечание 2.1. Рассмотрим набор двойственных переменных для задачи . Тогда: – левый вектор Фробениуса для матрицы , ; ; .