Если область ограничена сверху кривой , снизу кривой , причём , то площадь области можно вычислить по формуле
, т.е.
Если кривая задана параметрически и при изменении параметра точка пробегает кривую L , лежащую выше оси OX от до , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной данной кривой, осью абсцисс и прямыми и находится по формуле По той же формуле можно найти и площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой L , заданной параметрически и пробегаемой по часовой стрелке,. При этом соответствуют значениям параметра, при которых кривая замыкается.
Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .
Решение.
Найдём точки пересечения данных кривых. Для этого необходимо решить систему уравнений
Решив её, найдём координаты точек и . Тогда, очевидно, что площадь фигуры
Кривая, ограничивающая область, может быть задана в полярных координатах. Точнее, рассмотрим площадь фигуры, ограниченной лучами , а также кривой (предполагаем, естественно, что функция на промежутке интегрируема). Площадь данного криволинейного сектора находится по формуле .