Обращение преобразования Лапласа

До сих пор мы занимались отысканием изображений по известным оригиналам и с помощью подбора или таблицы находили оригинал. Однако существует общий подход к нахождению оригиналов. Теоретический ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 15.(Р.Х. Меллин 1854-1933 фин. мат.)Пусть F(p) аналитическая в области , функция является изображением кусочно- гладкой на каждом конечном отрезке луча функции f(t) с показателем роста

(2)

которая называется формулой Меллина, а интеграл вычисляется вдоль некоторой прямой параллельной оси OY и понимается в смысле главного значения.

□ Рассмотрим вспомогательную функцию найдем для этой функции преобразование Фурье:

Функция g(t), согласно условию теоремы, интегрируема на всей прямой, непрерывна на каждой точке и имеет односторонние производные, тогда можно воспользоваться формулой обращения преобразования Фурье:

В последней формуле интеграл также понимается в смысле главного значения, тогда для

g(t)= =

или, если воспользоваться полученными выше результатами, получим: = .

Сокращая на получим доказываемую формулу. ■

Следствие.Оригинал f(t) однозначно определяется по его изображению во всех точках, где функция f(t) дифференцируема.

Теорема 16.(условие существования оригинала)Пусть F(p) является функцией комплексной переменной p=x+iy и удовлетворяет следующим условиям на полуплоскости x=Re p>s₀:

1) F(p) аналитическая функция в этой области;

2) F(p)→0 при p→∞;

тогда F(p) в области x=Re p>s₀ является изображением функции f(t) и определяется формулой Меллина (2).

Для функции F(p), удовлетворяющей условиям теоремы 2, можно по формуле Меллина найти оригинал, но на практике это трудно осуществить из-за необходимости вычисления несобственных интегралов. На практике удобнее пользоваться теоремами разложения.

Теорема 17.(первая теорема разложения) Пусть F(p) аналитическая в окрестности p=∞ и ее разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид:

тогда оригинал функции F(p) определяется как сумма следующего ряда:

□ Выберем R₀ столь большим, чтобы множество |p|>R₀ не содержало особых точек функции F(p). Т.к. p=∞ нуль функции F(p), то существует положительная константа M₀ , ( |p|>R₁>R₀).

Из неравенства Коши (гл.3) следует, что |с_n|≤MRⁿ^-1. Рассмотрим следующий вспомогательный ряд . Оценим его по модулю :

Из полученной оценки следует сходимость ряда (4), причем в круге конечного радиуса этот ряд сходится равномерно и его можно почленно интегрировать. Предположим, что формула (4) верна, умножим на e^pt , левую и правую часть проинтегрируем

получаем формулу (3), а отсюда следует, что теорема верна. ■

Теорема 18.(вторая теорема разложения) Пусть F(p) удовлетворяет следующим условиям:

1) F(p) aналитическая функция на всей комплексной плоскости за исключением конечного числа полюсов p₁,p₂…p_n.;

2) F(p)→0 при p→∞;

3) т.е сходится,

тогда

(5)

□

Г_R

X₀+iR

X₀

X₀-iR

P₂

p_n

Пусть Г_R дуга окружности радиуса R с центром в точке x₀ расположенная слева от прямой x=x₀, а точки x₀ точки их пересечения. Через С обозначим замкнутый контур, образованный объединением дуги окружности и отрезком прямой. Рассмотрим следующий интеграл по контуру С.

Перейдем в последнем равенстве к пределу R→∞.

Получаем, что в пределе 1-й интеграл в правой части, после замены переменной интегрирования p=iz , по второй лемме Жордана будет равен нулю (поворот на , а второй интеграл правой части, понимаемый в смысле главного значения, представляет собой интеграл Меллина, умноженный на 2𝜋i. В то же время, согласно основной теореме о вычетах, предел левой части будет равен сумме . Таким образом, получаем

=0+

где полюса p₁…p_nокажутся внутри контура С бесконечного радиуса. Откуда следует доказываемая формула (5). ■

Пример 7.