Контрольная работа

“НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ”

ЗАДАНИЕ. Вычислить неопределенные интегралы:

1.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

2.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

3.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ; 10) .	8) ;	9) ;
4.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

5.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
6.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

7.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

8.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

9.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

10.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

11.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

12.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

13.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
14.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

15.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

16.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

17.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

18.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

19.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ; 10) .	8) ;	9) ;
20.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

21.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
22.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

23.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

24.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

25.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

26.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

27.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

28.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

29.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
30.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

Образец выполнения контрольной работы

“Неопределенный интеграл”

Вычислить интегралы:

1)	Делаем замену переменных. Так как – это почти производная , за t можно взять , а лучше , тогда . Выразим отсюда , получим

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)	В интеграле в числителе стоит почти производная от . Поэтому . Тогда

Ответ:

3)	. Применяем формулу интегрирования по частям: , . После подстановки получим

Ответ:

4) Выделим в знаменателе интеграла полный квадрат: где . В конечном счете после подстановки получаем

Найдем отдельно интегралы.

. После подстановки: получим

Подставляя найденные выражения в , получим

Ответ:

5) . Делая подстановку: , получим .

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель так же, как число 231 на 8, столбиком,

Аналогично делим многочлены.

Берем степень , делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и отнимаем от . взаимно уничтожаются, сносим вниз, , а при вычитании становится . Затем делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и это отнимаем и т. д.

Записываем результат деления: и подставляем его под знак интеграла . Последнее слагаемое представляет собой правильную дробь, которую можно разложить в сумму простейших дробей.

Приравниваем числители дробей

,

Теперь

Ответ:

Делая подстановку: , получим

Ответ: .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и . В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

Ответ: