Первообразная. Неопределенный интеграл, простейшие свойства неопределенного интеграла.
Таблица неопределенных интегралов.
Основные методы интегрирования: интегрирование подведением под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.
Определение 1. Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна данной функции f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.
Определение 2. Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают∫f(x)dx.
Вычисление интеграла от данной функции называют интегрированием этой функции.
Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Y F(x)+С2
F(x)
F(x)+С1
X
Неопределенный интеграл представляет собой множество интегральных кривых, полученных параллельным переносом функции F(x) вдоль оси OY на произвольную константу C.
Основные свойства неопределенного интеграла.
10 Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению,апроизводная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:d∫f(x)dx=f(x)·dx; (∫f(x)dx)'=f(x).
20 Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого: ∫dF(x)=F(x)+C.
30 Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.
40 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций: