Решение.

.

.

.

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

.

Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем

.

Блок 4) ; ; – интегрирование дробно-рациональных функций.

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

.

Имеем: .

Решение.Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, т.е. .

Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем после этого числители правой и левой частей. Получим:

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Таким образом, и искомый интеграл

.

Решение.Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь, поэтому сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель «столбиком»:

Отсюда =

=

Блок 5) ; ; – интегрирование тригонометрических функций.

Решение.Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения сумму , получим

Решение.Воспользуемся универсальной тригонометрической подстанов­кой , откуда , , .

Имеем

.

Решение.Подынтегральная функция нечётна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда

Блок6) ; ; –интегрирование иррациональных функций.

Решение.Здесь входит в подынтегральную функцию с показателями корней 2 и 3. Поэтому применяем подстановку , где откуда:

.

Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую часть, имеем

.

Для нахождения последнего интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: ,

откуда .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ,

Решение.Имееминтеграл вида , который преобразуется в интеграл от рациональной дроби с помощью подстановки , где . Полагая , имеем

где .

Решение. Имеем интеграл вида .Полагаем . Откуда , . Следовательно,