Интегралы, приводимые к табличным после линейного преобразования дифференциала

Рассмотрим некоторые линейные преобразования дифференциала

;

Дифференциал аргумента на измениться, если к аргументу прибавить постоянное число, то есть

, ;

, где .

Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала и вносить под знак дифференциала.

;

При умножении аргумента, стоящего под знаком дифференциала, на постоянное число, дифференциал изменяется во столько же раз, что и постоянное число.

Чтобы величина дифференциала аргумента не изменилась, при умножении аргумента на , где , необходимо сам дифференциал умножить на дробь, обратную , то есть на

Пример 5. Найти .

Решение

При решении применяли линейное преобразование дифференциала (3) и формулу интегрирования (6).

Пример 6. Найти .

Решение

При решении применяли линейное преобразование дифференциала (3) и формулы интегрирования (4), (5), (7).

Пример 7. Найти .

Решение

Этот интеграл приводится к табличному (10)

Выполним некоторые преобразования

Пример 8. Найти

Решение

Этот интеграл приводится к табличному

Выполним некоторые преобразования

Ошибка! Ошибка связи.

Мы разобрали простейшие примеры, в которых функции могли быть выражены путем несложных преобразовании в виде, позволяющим применить для нахождения интеграла основные табличные формулы.

Для закрепления этого способа необходимо решить следующие примеры

1) Найти Ответ:

2) Найти Ответ:

3) Найти Ответ:

4) Найти Ответ:

5) Найти Ответ:

6) Найти Ответ:

Второй способ – способ подстановки.

Если заданный интеграл простейшими преобразованиями трудно привести (или совсем нельзя привести) к табличному, то для его отыскания применяются особые приемы. Одним из них является интегрирование способом подстановки. В основе метода подстановки лежит введение новой переменной, затем дифференцирование этой постановки, замена в искомом интеграле всего через новую переменную, а только потом использование основных формул интегрирования. После того, как нашли интеграл, опять возвращаемся к старой переменной.

Пример 9. Найти .

Решение

Положим,

где - новая переменная.

Возьмем дифференциал от обеих частей равенства

Получим

Заменив в искомом интеграле и их найденными значениями и применив формулу (2)

будем иметь

Но ответ должен быть представлен как функция от переменной , поэтому, подставив вместо его значение из подстановки, получим

Пример 10. Найти .

Решение

Введем подстановку

Продифференцируем равенство

получим

Подставим в подынтегральное выражение

Пример 11. Найти .

Решение

Обозначим

Продифференцируем

Подставив в подынтегральное выражение вместо и их значения, заменив корень степенью с дробными показателями, а затем, введя отрицательный показатель и применив формулу интеграл степени, получим

Перейдя к прежней переменной , получим

Пример 12. Найти .

Решение можно записать короче

Пример 13. Найти .

Решение

Положим

продифференцируем

Заменив в искомом интеграле и их найденными значениями и применив свойство (3) и формулу (4), получим

Пример 14. Найти

Решение

Вводим подстановку

продифференцируем это равенство

Поставим вместо и в искомый интеграл

Замечание. Если подынтегральное выражение содержит и одного и того же аргумента, причем одна из функций входит в какой-либо степени, то через новую переменную обозначают первую степень той функции, которая входит в степени.

При решении способом подстановки важно правильно выбрать подстановку, а для этого недостаточно простого знания формул, нужен еще опыт, который накапливается постоянно в процессе решения примеров.

Нужно устно выбранную подстановку продифференцировать и посмотреть остальное выражение в подынтегральном выражении можно ли заменить через новую переменную. Если можно, то выбранную подстановку верно выбрали. Если нет, то нужна другая подстановка. Запись решения следует производить так:

Пример 15.