A. .
Теорема. Используя следующие подстановки, данный интеграл можно свести к интегралу от дробно-рациональной функции.
1. Если - нечетное, то подстановка .
2. Если - нечетное, то подстановка .
3. Если - четные, то подстановка .
Если , то, используя тригонометрические тождества, интеграл можно преобразовать к сумме (разности) простейших интегралов.
Примеры.
1)
.
2)
.
3)
При замене и используются следующие формулы:
.
.
4)
.
B.
Данные интегралы преобразуются к простым с помощью тригонометрических формул.
Пример. .
C. .
Рассмотрим интеграл
.
Повторяя этот прием несколько раз, мы постепенно уменьшаем показатель у тангенса. В результате, на каком-то шагу:
1. если - четное, то получим ;
2. если - нечетное, то получим .
Пример.
.
D. Универсальная подстановка.
Теорема. Интеграл подстановкой сводится к интегралу от дробно-рациональной функции.
Пусть , выразим через :
,
.
Пример.
.