Напомним некоторые свойства неопределенного интеграла.

1. Согласно определению неопределенного интеграла его производная равна подынтегральной функции, то есть .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .

3.Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

Следующие свойства интегралов вытекает из соответствующих свойств производных.

5. Неопределенный интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или, соответственно, разности) неопределенных интегралов от этих функций: .

.

6.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

7. Из формулы производной произведения вытекает

Формула интегрирования по частям:

8.Из формулы производной сложной функции вытекает формула:

(Замена переменной в неопределенном интеграле )

Эту формулу используют как слева направо, так и справа налево.

1)справа налево:

Например, пусть требуется вычислить и по каким-то причинам нам удобно сделать замену переменной в виде , где - новая независимая переменная. Тогда . При этом, конечно, предполагаем, что после вычисления интеграла в правой части мы подставим вместо , выражение через из соотношения (функция должна быть обратима).

2)слева направо:

Например, пусть нам известно, что . Требуется вычислить интеграл вида . Тогда .

Рассмотрим примеры.