Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
1) Интеграл вида .
В подынтегральном выражении буква означает некоторую рациональную функцию от переменных и .
Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию. Для этого необходимо применить следующие тригонометрические тождества:
,
Тогда .
Таким образом:
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример 5.1.Вычислить неопределенный интеграл.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример 5.2.Вычислить неопределенный интеграл.
2) Интеграл вида , если функция является нечетной относительно .
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку .
Функция может содержать только в четных степенях, и, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно :
Пример 5.3.Вычислить неопределенный интеграл.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно , а степень , входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
3) Интеграл вида , если функция является нечетной относительно .
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка . Тогда получаем интеграл
Пример 5.4.Вычислить неопределенный интеграл.
4) Интеграл вида , если функция четная относительно и .
Для преобразования функции в рациональную функцию используется подстановка .
В этом случае .
Пример 5.5.Вычислить неопределенный интеграл.
[разделим числитель и знаменатель дроби на ] =
5) Интеграл от произведения синусов и косинусов различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
а)
.
б)
.
в)
.
Пример 5.6.Вычислить неопределенный интеграл.
Пример 5.7.Вычислить неопределенный интеграл.
Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.
Пример 5.8.Вычислить неопределенный интеграл.
.
Пример 5.9.Вычислить неопределенный интеграл.
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример 5.9.Вычислить неопределенный интеграл.
Итак, получаем, что интеграл . Тогда , делая обратную замену, будем иметь: