, т.е. функция имеет в качестве одной из своих первообразных функцию . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Поскольку , то
. (2.1)
По формуле (1.2.1) осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле.
Пример 2.5. Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Сделаем замену . Тогда данный интеграл сводится к интегралу .
Пример 2.6. Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Замена Получаем:
.
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.
3) Метод интегрирования по частям.
Метод основан на следующей формуле:
(2.2)
Поскольку или . Проинтегрировав обе части последнего равенства и применив свойства неопределенного интеграла, получим требуемую формулу .
Формула интегрирования по частям позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и , чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Мы покажем на ряде примеров как применяется данный метод.
Пример 2.7. Найти неопределенный интеграл .
Решение.
.
Замечание 2.1. При определении функции по дифференциалу мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (2.2) вместо выражение ). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.
Метод интегрирования по частям применяется, как правило, при нахождении интегралов следующего вида:
, ,
, .
Также этот метод применяется к интегралам, содержащим некоторые обратные тригонометрические функции такие как .
Пример 2.8. Вычислим следующие неопределенные интегралы:
1)
.
2)
.
3)
= .
4)
.
5)
.
6) Рассмотрим так называемые «круговые интегралы», которые находятся дважды интегрированием по частям.
.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. В результате имеем:
.
.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным интегралам. Среди них рассмотрим применение частного случая метода подстановки – «внесение функции под знак дифференциала».
Пример 2.9. Вычислим следующие неопределенные интегралы:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
Метод внесения функции под знак дифференциала был применен в первом, третьем и четвертом случаях примера 9.