В пределе гистограмма (полигон) стремится к нормальному закону распределения, плотность функции распределения которого описывается уравнением (5.12).
В качестве закона распределения случайных величин чаще всего используют нормальный закон распределения, он же закон Гаусса (K.F. Gauss – немецкий математик ХIХ века). Плотность нормального закона распределения
f(Х) = e . (5.12)
Функция плотности распределения позволяет определить вероятность появления данного конкретного значения Х.
Данные, снятые для построения гистограммы и полигона, могут быть использованы для построения статистического ряда распределения (рис. 5. 2).
Статистический же ряд распределения стремится к функции распределения, которая описывается следую-щим уравнением:
F(X) = =e dX. (5.13)
f(X) 2
1
Х
Рис. 5.1. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения
величины Х
F(X)
1
Х
Рис. 5.2. Статистический ряд распределения
величины Х
Функция распределения позволяет определить вероятность появления значения Х в интервале от - до числа а.
Критерий (от греч. kriterion - мерило) Пирсона (К. Pearson – английский математик, биолог и философ, работавший в конце ХIХ – начале ХХ века) – один из
важнейших непараметрических критериев. С его помощью проверяют гипотезу (от греч. hipotesis – основание, предположение) о согласии выборочного распределения с нормальным законом распределения. Применение критерия допустимо лишь тогда, когда npi³ 5.
Для проверки нормальности закона распределения результатов измерений заполняют табл. 5.2.
Таблица 5.2
Проверка по критерию Пирсона
Начало интер-
вала
mi
ti
Ф(ti)
pi
mi-npi
(mi-npi)2npi
…
…
…
Сумма
-
-
-
Данные первых двух столбцов надо взять из табл. 5.1. В третьем столбце записывают отношение
ti = . (5.14)
Четвёртый столбец заполняют соответствующими значениями интеграла вероятностей Ф(ti) из справочной литературы [6].
Интеграл (лат. integer – целый) вероятностей Ф(t) равен
Ф(t) = , (5.15)
где t = .
По значениям Ф(i) в пятом столбце вычисляют вероятность piкакразность соответствующих значений Ф(t)
pi = Ф(ti) - Ф(ti-1). (5.16)
Напомним, что Ф( ) = - 0,5.
Последние столбцы таблицы в пояснении не нуждаются.
Сумма чисел последнего столбца даёт значение
= , (5.17)
где n – число всех результатов измерений.
Если окажется больше критического значения крит при некоторой доверительной вероятности Р и числе степеней свободы k = l - 3, где l – число всех интервалов, то с вероятностью Р можно считать, что распределение вероятностей результатов измерения в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.
Указанное число степеней свободы k = l – 3 относится только к тому случаю, когда оба параметра нормального закона распределения определяют по результатам измерений, т.е. когда вместо точных значений Х и применяют их эмпирические оценки.
Если значение Х известно точно (например, при измерении эталона – в нашем случае концевой меры длины), то число степеней свободы равно k = l – 2.