Для любых векторов , и справедливо:
1) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:
, ,
2) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется:
.
3) Если , , , то
.
4) , и компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.
5) Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
Объем пирамиды, построенный на тех же векторах в 6 раз меньше:
Таким образом, скалярное произведение используют для нахождения длин и углов, векторное произведение – для вычисления площадей, а смешанное – для нахождения объемов.
Пример 6.(Образец выполнения задачи 4 из контрольной работы). Даны вершины пирамиды: , , и
Найти:
a) длину ребра ;
b) угол между ребрами и ;
c) площадь грани ;
d) объем пирамиды.
Решение.
a) Найдем вектор , а затем его норму. Это и будет длина ребра . ,
b) Угол между ребрами и будем находить как угол между векторами и (рис. 3), используя формулу:
.
.
Следовательно,
c) , ,
, .
d) Возьмем три вектора, на которых построена пирамида, например, , и , и найдем их смешанное произведение:
Значит, n