Решение дифференциального уравнения (2.2) можно получить не только классическим методом, но также с использованием операционного исчисления, в основе которого лежит преобразование (интеграл) Лапласа.
Преобразование Лапласа представляет собой преобразование некоторой функции вещественной переменной в другую функцию комплексной переменной ,осуществляемое путем интегрирования
,
где исходная функция называется оригиналом, а результат преобразования – изображением, – оператор Лапласа.
Существует соответствие между операциями с оригиналами и с изображениями. Так, -кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на , а -кратному интегрированию оригинала в пределах от 0 до соответствует деление изображения на .
Функция-оригинал обладает следующими свойствами:
· определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой оси;
· при ;
существует такое положительное число , при котором .
Для определения функции-оригинала по известному изображению применяют формулу обратного преобразования Лапласа
Максимальная величина , при которой выполняется это неравенство, называется абсциссой абсолютной сходимости. В АСУ мы обычно имеем дело с функциями, для которых перечисленные выше условия выполняются.
Выражения изображений Лапласа для некоторых элементарных функций приведены в табл.2.1. Более полные таблицы даны в справочной литературе.
Таблица 2.1
Изображения некоторых элементарных функций
Передаточной функцией (в форме изображений Лапласа) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях
. (2.5)
Введём для операции дифференцирования обозначение , т.е. .
В операторной форме уравнение (2.2) имеет вид
(2.6)
где – оператор дифференцирования.
Передаточной функцией системы в операторной форме называют отношение
(2.7)
Передаточная функция определяет динамические характеристики системы или отдельных её элементов.
Итак, передаточная функция в форме изображений по Лапласу
,
где , – полиномы числителя и знаменателя, характеризует систему в области изображений по Лапласу (рис. 2.12).
Рис.2.12. Модель системы (звена) в области изображений по Лапласу
Для линейных систем при нулевых начальных условиях нет необходимости переходить в область изображений, а систему (звено) можно представить блоком
,
как показано на рис. 2.13, и считать, что этот блок осуществляет те же действия, что предусматриваются дифференциальным уравнением (2.6), записанным в операторной форме
,
т. е. – операторное звено во временной области.
Рис.2.13. Модель системы (звена) в операторной форме
Отметим, что (2.7) можно представить в виде отношения полиномов со свободными членами, равными единице
,
где – коэффициент передачи;
;
.
Свободные члены могут равняться и нулю, если, например, в системе имеется интегрирующее звено.
Итак, для стационарных линейных звеньев (систем) при нулевых начальных условиях формально можно сделать подстановку , так как в этом случае дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на – соответствует умножение изображения на комплексное число .
Все свойства преобразования Лапласа применимы для операторной формы записи дифференциальных уравнений линейных стационарных систем при нулевых начальных условиях, т.е. можно для таких систем считать и тогда выражения (2.5) и (2.7) эквивалентны.
В знаменателе передаточной функции (2.7) записано выражение, аналогичное левой части характеристического уравнения. Поэтому можно считать, что знаменатель передаточной функции есть характеристический полином дифференциального уравнения
Корни характеристического уравнения , будучи подставленными в (2.7), обращают передаточную функцию в бесконечность и называются полюсами передаточной функции. Корни уравнения при подстановке в (2.7) обратят передаточную функцию в нуль и называются нулями передаточной функции.