Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения плотности вероятности
Пусть требуется получить дискретную реализацию стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале и имеющего корреляционную функцию .
Корреляционную функцию случайного процесса можно представить в виде:
.
Для стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале , математическое ожидание будет равно нулю (), а дисперсия .
Тогда можно записать
, (4.41)
где - нормированная корреляционная функция.
Для получения стационарного случайного процесса с равномерным распределением из нормального достаточно последний подвергнуть нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель» (рис. 4.18).
Рис. 4.18 Характеристика нелинейности типа «сглаженный ограничитель»
Точное выражение для функции в случае, когда процесс является нормальным с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, будет иметь вид:
, (4.42)
где - функция Лапласа.
Корреляционную функцию процесса, получаемого с помощью такого преобразования, удается выразить через корреляционную функцию исходного процесса:
. (4.43)
Определяем отсюда и с учетом (4.41) получаем:
. (4.44)
Поскольку нормированная корреляционная функция не может превышать по модулю 1,т.е., то аргумент синуса в (4.44) лежит в пределах от до , и его можно заменить аргументом, внеся несущественную погрешность:
. (4.45)
Кроме того, в задачах, не требующих высоких точностей, можно считать, что:
. (4.46)
Таким образом, «сглаженный ограничитель», превращающий нормальный случайный процесс в процесс с равномерным распределением, не искажает энергетический спектр исходного процесса, и корреляционные функции процессов на его входе и выходе будут равны.
Следовательно, алгоритм моделирования случайного процесса, равномерно распределенного на интервале , сводится к формированию реализации нормального случайного процесса с заданной корреляционной функцией и его преобразованию (4.42).
Рис.4.19. Случайный процесс с равномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)