2.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения
Пусть – функция распределения вероятностей случайной величины , а - функция обратная . Тогда случайная величина имеет заданный закон распределения , если случайная величина равномерно распределена от 0 до 1.
Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей закон распределения Релея:
.
Для получения обратной функции приравняем и выразим из полученного уравнения величину :
;
; ;
.
Так как случайная величина должна быть распределена равномерно от 0 до 1, то и случайная величина будет распределена так же, поэтому окончательно можно записать:
К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.
Метод используется для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными (рис. 2.1).
Рис. 2.1 Усеченный закон распределения случайной величины
Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:
1) из внутреннего датчика равномерно распределенных случайных величин независимо выбираются пары чисел и ;
2) из них формируются другие случайные числа по следующим правилам:
, (2.1)
, (2.2)
где , - границы интервала определения случайной величины ,
- максимальное значение на интервале определения случайной величины (см. рис.2.1).
После преобразования становится равномерно распределена от до , а - от до .
3) в качестве -й реализации случайной величины берется число из тех пар чисел, для которых выполняется условие:
. (2.3)
Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, выбрасываются, и на шаге происходит возврат к первому пункту (новая выборка пары чисел и ).
Пары случайных чисел и можно рассматривать как координаты случайных точек на плоскости, равномерно распределенных вдоль осей и внутри прямоугольника (рис.2.2).
Пары, удовлетворяющие неравенству - это координаты точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей внутри той части , которая расположена под кривой.