Рекуррентные потоки. Формула Литтла

Поток событий называется рекуррентным (иначе – «потоком «Пальма»), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями T₁, T₂, T₃, … представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением. Приведем пример рекуррентного потока. Технический элемент (например, диод) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя); отказавший элемент мгновенно заменяется новым. Если отдельные экземпляры элемента выходят из строя независимо друг от друга, то поток отказов (он же «поток замен» или «восстановлений») будет рекуррентным.

Рассмотрим вывод упомянутой ранее формулы Литтла, связывающей (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок L_сист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W_сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее, так как оба потока имеют одну в ту же интенсивность l.

Обозначим: X(t)—число заявок, прибывших в СМО до момента t, Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов заявок (Y(t)). Для любого момента t их разность Z(t) = X(t) - Y(t) — это число заявок, находящихся в СМО.

Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала T:

(5)

Данный интеграл представляет собой площадь фигуры, заключенной между X(t) и Y(t). Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена как t₁, t₂,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в эту фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т этим можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что

, (6)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (6) на длину интервала Т. Получим, с учетом (5):

. (7)

Разделим и умножим правую часть (7) на интенсивность l:

(8)

Величина Tl — это среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t_i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист. Итак,

. (9)

Это и есть формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч.

. (10)