ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.

Метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта -го порядка имеет вид:

,

где при фиксированных значениях некоторых параметров:

последовательно вычисляются:

,

где

Метод Рунге-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:

1) высокая точность

2) явная схема вычислений за определенное количество шагов и по определенным формулам.

3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.

4) легко оформляется.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

0.0	1.000
0.1	1.110
0.2	1.241

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости:

Необходимо найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически.

Необходимо отметить, что такая постановка задачи соответствует постановке задачи интерполяции. Однако в теории обработки экспериментальных данных методы отличаются от методов интерполяции, ранее рассмотренных.

Интерполяционные формулы позволяют построить полиномы, значения которых в узловых точках x₁ совпадают со значениями y₁. Однако такое совпадение в общем случае не означает совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Требования неукоснительного совпадения значений исходной и интерполирующей функции может оказаться тем более неоправданным, если значения y₁ получены в результате измерений и являются сомнительными. Это во-первых.

Во-вторых, задача интерполяции известными методами, как правило, решается для небольшого отрезка, и найденная, интерполяционная функция может оказаться непригодной для другого отрезка или даже для большего отрезка.

Исходя из вышесказанного, следует уточнить задачу методов обработки экспериментальных данных. По заданным табличным данным необходимо найти функцию заданного вида: y = F (x), которая в точках x_i принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y_i.

Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. Строится точечный график функции, заданной таблично, а затем проводиться плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).

Как правило, перед тем, как решить такую задачу необходимо ответить на четыре вопроса:

1) Какие узлы будут использоваться?

2) Какую аналитическая функция будет использоваться?

3) Какой критерий согласия будет использоваться?

4) Какую точность необходимо достичь?