Единственность решения
Быстрота сходимости процесса Ньютона
Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона
Пусть дана нелинейная система уравнений
,
где 
- вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области 
. Положим, что 
- есть точка, лежащая в вместе со своей замкнутой 
-окрестностью. При этом выполняются следующие условия:
1) матрица Якоби при 
имеет обратную функцию
2) 
3) 
4) постоянные 
удовлетворяют неравенству
Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении сходится к решению 
- есть решение такое, что 
Для проверки условия 
даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.
Если выполнимы все четыре условия теоремы 1, то для последовательных приближений 
, 
справедливо неравенство:
где 
- искомое решение, а
При 
сходимость метода - сверхбыстрая.
Если выполнимы все четыре условия, в области
то содержится единственное решение системы
Если выполнимы все четыре условия и 
, то процесс сходится к единственному решению в основной области при любом выборе начального условия из области
