Пример 1.

а) Алгебра Rназывается полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип - . Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида Q-поле действительных чисел – образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств – булеан, обозначается как или . Алгебра называется булевой алгеброй множеств над множеством . Её тип: . Для любого будет являться подалгеброй .

в) Множество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение. Замыканием множества относительно сигнатуры (обозначается ) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры(включая сами элементы ).

Например, в алгебре целых чисел Zзамыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

1. Гомоморфизм и изоморфизм.

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Определение. Пусть даны две алгебры и . Гомоморфизмом алгебры в алгебру называется функция , такая, что для всех выполняется условие:

для любого . (*)

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Определение. Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Определение. Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Определение. Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм.

Замечание. Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм – автоморфизмом.

Теорема 5.2. Если и - две алгебры одного типа и - изоморфизм, то - тоже изоморфизм.