Построение множественной линейной регрессии

Каждое явление в природе, технике, экономике, общественной жизни определяется комплексом причин. На уровень развития одного показателя могут влиять много факторов. Уровень влияния факторов на показатель может существенно различаться. Все эти закономерности следует учитывать во время проведения эконометрического анализа, прогнозирования и планирования.

При существовании линейной зависимости объясняемой переменной (показателя) от нескольких объясняющих переменных (факторов) общее выражение уравнения множественной регрессии имеет вид:

, (3.4.1)

где у – зависимая переменная, – независимые факторы, – параметры модели. Здесь через обозначены теоретические значения показателя, рассчитываемые по модели (3.4.1).

Модель описывает совместное одновременное влияние факторов на показатель. Задача исследования состоит в оценке параметров регрессии по результатам выборочных наблюдений над переменными, которые включены в модель. Построение модели проводят с помощью метода наименьших квадратов, решая систему уравнений Гаусса (3.4.2):

(3.4.2)

Данную систему можно решать, используя ранее рассмотренный подход: вычислить все вспомогательные суммы, подставить их в систему и, преобразуя ее с помощью алгебраических преобразований, найти неизвестные параметры уравнения. Это так называемая классическая схема построения многофакторной модели.

Важным этапом регрессионного анализа является оценка практической значимости построенной модели. Проверку значимости модели проводят на основании показателей тесноты связи между признаками и с помощью множественного коэффициента корреляции , который выявляет зависимость между фактическими и теоретическими значениями объясняемой переменной. Его вычисляют по формуле (3.4.3)

(3.4.3)

Чем более близок множественный коэффициент корреляции к единице, тем лучше данная модель описывает фактические данные.

Коэффициент детерминации равен квадрату множественного коэффициента корреляции. Он измеряет долю общей дисперсии относительно среднего , которую можно объяснить регрессией.

Полезным является построение интервальных границ для коэффициента множественной регрессии.

Доверительный интервал для множественного коэффициента корреляции находится по формуле (3.4.4)

, (3.4.4)

где ,

– критическая точка, найденная по таблицам Стьюдента (приложение Д).

Для проверки значимости уравнения регрессии применяют критерий Фишера, вычисляя фактическое значение -статистики по формуле (3.4.5):

. (3.4.5)

По таблице критических точек Фишера (приложение Е) находят критическое значение статистики , где – количество наблюдений, – количество факторов, – уровень значимости.

Если , то уравнение регрессии не является надежно значимым. Если , то уравнение регрессии является значимым.

Прогноз.Предположим, что мы хотим распространить построенную модель на другие значения факторных переменных и решить проблему прогнозирования среднего значения , которое отвечает некоторым данным значениям переменных . Эти новые значения могут лежать как между выборочными наблюдениями, так и вне соответствующих интервалов. Точечный прогноз представляет собой вычисленное по уравнению (3.4.1) значение

. (3.4.6)

Пример 3.7.Построить линейную регрессионную модель по данным примера 3.6.

Решение. В примере 3.6 из дальнейшего рассмотрения была исключена переменная . Используем линейную двухфакторную модель

, (3.4.6)

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры найдем как решение системы линейных уравнений Гаусса следующего вида

(3.4.7)

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице:

Таблица 3.13

Расчет коэффициентов системы (3.4.7)

17,44	22,95	3,00	526,70	9,00	68,85	400,25	52,32
17,28	24,84	1,56	617,03	2,43	38,75	429,24	26,96
17,92	29,97	2,88	898,20	8,29	86,31	537,06	51,61
18,88	28,08	2,28	788,49	5,20	64,02	530,15	43,05
17,12	24,30	1,20	590,49	1,44	29,16	416,02	20,54
21,12	32,40	2,64	1049,76	6,97	85,54	684,29	55,76
20,00	29,97	3,48	898,20	12,11	104,30	599,40	69,60
20,64	33,48	2,28	1120,91	5,20	76,33	691,03	47,06
19,68	29,70	2,52	882,09	6,35	74,84	584,50	49,59
18,40	26,73	2,40	714,49	5,76	64,15	491,83	44,16
188,48	282,42	24,24	8086,36	62,76	692,26	5363,76	460,65

В последней строке записывают суммы чисел в столбце.

Система уравнений (3.4.7) для определения параметров регрессии имеет вид:

Решив полученную систему уравнений, найдем , , тогда уравнение регрессии (3.4.6) имеет вид

. (3.4.8)

Пример 3.8.Для модели (3.4.8), построенной в примере 3.7, найти множественный коэффициент корреляции , коэффициент детерминации , для множественного коэффициента корреляции найти доверительный интервал, коэффициенты эластичности.

Решение.Для вычисления множественного коэффициента корреляции построим вспомогательную таблицу:

Таблица 3.14

Расчет элементов коэффициента

17,44	22,95	3,00	15,77	304,15	248,56	274,96
17,28	24,84	1,56	16,35	298,60	267,36	282,55
17,92	29,97	2,88	20,14	321,13	405,72	360,95
18,88	28,08	2,28	18,70	356,45	349,61	353,01
17,12	24,30	1,20	15,86	293,09	251,50	271,50
21,12	32,40	2,64	21,57	446,05	465,43	455,64
20,00	29,97	3,48	20,40	400,00	415,97	407,91
20,64	33,48	2,28	22,10	426,01	488,56	456,21
19,68	29,70	2,52	19,82	387,30	392,86	390,07
18,40	26,73	2,40	17,90	338,56	320,30	329,30
188,48	282,42	24,24	188,61	3571,35	3605,87	3582,11

В соответствии с формулой (3.4.3) множественный коэффициент корреляции равен

.

В нашем случае . То есть 99,95% дисперсии показателя можно объяснить с помощью построенной модели зависимости от и . Рассчитанный коэффициент указывает на высокую степень соответствия математической модели фактическим данным.

Для нахождения доверительного интервала для множественного коэффициента корреляции найдем по таблицам Стьюдента (приложение Д) находим критическую точку , поэтому

.

Тогда доверительный интервал, найденный по формуле (3.4.4), имеет вид

или .

Поскольку коэффициент множественной корреляции должен находиться в границах от 0 до 1, то доверительным интервалом для него будет ,

что указывает на удачный подбор модели.

Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитаем статистику по формуле (3.4.5) .

По таблицам Фишера (приложение Е) найдем критическое значение . Поскольку , то уравнение множественной регрессии (3.4.1) следует считают надежным.

Вычислим прогноз для и . Тогда по формуле (3.4.8) следует ожидать, что значение показателя будет равно

.