Обнаружение тупиковых состояний.

Характеристики сети Петри на основе t-инвариантов

Характеристики сети Петри на основе Р-инвариантов

Методы линейной алгебры для анализа сети Петри

Методы позволяют на основе математического исследования структуры биграфа сети и начального маркирования M₀ оценить такие качественные характеристики сети как ограниченность, живость и др.

Целочисленный вектор X = {}, i=1,2,…n, являющийся решением линейной системы:

AX = 0, (5.7)

называется Р-инвариантом или Р-циклом.

Рассмотрим уравнение (5.5), обе части которого умножим на X*:

X*M = X*M₀+ X*A*S. (5.8)

Известно, что AX = X*A*, поэтому из выражения (5.8) с учётом (5.7) получим:

X*M = X*M₀ , (5.9)

из которого следует, что любой Р-инвариант характеризует все достижимые маркирования сети с позиции сохранения некоторых свойств процессов.

Если обозначить X*M₀ = K₀, где K₀ - постоянная величина, то свойство инвариантности сети представимо в виде отношения-равенства:

X*M = K₀ = const . (5.10)

Вектор Х называют Р-инвариантом, поскольку он определяет некоторое из свойств распределения меток по позициям P_i.

Фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений (5.7) называют такую их совокупность, через которую линейно выражаются все остальные решения. Если ранг матрицы А равен числу неизвестных (r = n), то система (5.7) имеет только нулевое решение.

Если r < n, то система (5.7) помимо нулевого имеет бесконечное множество других решений, причём фундаментальная система состоит из (n - r) векторов Х. Ранг nm - матрицы А = || a_ij || равен наивысшему порядку отличного от нуля определителя, полученного вычёркиванием n - r столбцов и m - r строк из матрицы А.

Таким образом, все инварианты Х для маркирований сети можно получить из n - r базисных решений. Объединив записанные в виде векторов-строк решения фундаментальной системы, получим матрицу инвариантов или базисных решений В. Тогда для любого достижимого маркирования аналогично равенству (5.10) имеем:

BM = BM₀ = K₀ . (5.11)

Если все компоненты Р-цикла неотрицательны, его называют Р-цепью. Полная Р-цепь – это Р-цепь, все компоненты которой положительны. Сеть Петри инвариантна, если для неё существует полная Р-цепь. Полная Р-цепь включает в себя все позиции сети.

Инвариантная сеть Петри является ограниченной. Докажем это. Пусть Х – полная Р-цепь. Тогда X*M=K₀, т. е. взвешенная сумма меток по всем позициям - ограниченная. А поскольку x_i положительные и вся сумма ограничена, то и маркирования всех позиций сети ограничены.

Рассмотрим следующую группу характеристик, получение которых основывается на вычислении t-инвариантов (или t-циклов).

Целочисленный вектор Y называется t-инвариантом, если он является решением линейной системы:

A*Y = 0 . (5.12)

Если значение t-инварианта подставить в уравнение (6) вместо вектора счёта срабатываний S, то окажется, что

M = M₀ + A*Y = M₀ .

Отсюда следует, что если Y≠0, то сеть устойчива, т. е. после ряда переключений она возвращается в исходное состояние M₀. Устойчивость процессов связана с их циклической повторяемостью, начиная с состояния M₀. Заметим, что среди решений системы (5.12) могут быть такие векторы Y, компоненты y_j которых отрицательны.

Полная t-цепь – это t-цикл, все компоненты которого положительны. Полная t-цепь включает в себя все переходы сети. Если сеть имеет полную t-цепь, то она жива при любом начальном маркировании, поскольку в цепи маркирований от M₀ до М= M₀ срабатывают все переходы.

Таким образом, по устойчивости процессов и значению t-инварианта можно определить живость сети: если сеть жива и ограничена, то она инвариантна и устойчива.

Используя уравнение (5.2), условие возбуждения перехода t_j можно представить в виде:

n n

∑ I(t_j,P_i)m(P_i) ≥ ∑ I(t_j,P_i),

i=1 i=1

или учитывая, что I(t_j,P_i) = O*( P_i , t_j),

n n

∑ O*( P_i ,t_j)m(P_i) ≥ ∑ O*( P_i ,t_j). (5.13)

i=1 i=1

Для краткости будем использовать векторную запись условия возбуждения переходов:

O*M ≥ O*E, где Е – единичный вектор.

Условие (5.13) объясняется следующим образом: если некоторая компонента j левой части при данном маркировании М равна соответствующей компоненте правой части или больше её, то переход t_j возбуждается.

Поскольку множество достижимых маркирований R(N) должно удовлетворять (5.10), то отсутствие возбуждаемых переходов для MR(N) следует определять из решения системы:

BM = BM₀ ;

O*M = O*E – E. (5.14)

Если эта система имеет решения, то некоторое её маркирование является тупиком. Заметим, что отношению (5.11) могут удовлетворять недопустимые маркирования, поэтому решением системы (5.14) также могут быть недопустимые маркирования, хотя все допустимые тупики удовлетворяют ему.

Таким образом, система (5.14) – достаточное условие того, что маркирование М тупиково.

Для анализа тупиков можно также использовать систему:

M = M₀ + A*S ≥ 0;

O*M ≤ O*E – E,

или

M₀+ A*S ≥ 0;

O*AS ≤ O*(E - M₀) – E, (5.15)

если в число исходных данных входит известный вектор счёта срабатываний S. Таким образом, не совместимость системы (5.14) или (5.15) свидетельствует об отсутствии маркирования M или вектора счёта срабатываний S, которые ведут к тупику из M₀ .

Рассмотрим на простых примерах возможности изложенного подхода. Для сети на рис. 5.22а согласно уравнению (5.7) Р-инвариант Х является целочисленным решением системы:

- x₁+ x₃ = x₂ + x₃ = x₁ + x₂ – x₄ = 0.

Ранг матрицы А системы АХ=0 равен трём, поэтому данная система имеет одно целочисленное базисное решение, вектор-строка которого X* = (1, -1, 1, 0). Подставив Х и M₀ в равенство (5.11) BM = BM₀ = K₀, получим условие, верное для любого достижимого маркирования:

M = (m₁, m₂, m₃, m₄) : m₁ – m₂ + m₃ = 0 или m₁+m₃ = m₂ .

Из последнего условия виден смысл инварианта: сумма числа меток в позициях P₁, и P₃ и число меток в позиции Р₂ равны для любого достижимого маркирования сети. Этот инвариант верен здесь для диаграмм состояний (рис. 5.22 б, рис. 5.22 в), соответствующих разным правилам управления срабатыванием переходов. Вывод об ограниченности сети по данному значению Х сделать нельзя.

Вычислим t-инварианты Y. Из системы (5.12) получим систему уравнений:

- y₁ + y₃ = - y₂ + y₃ = y₁ - y₂ = - y₃ = 0.

Система имеет только нулевое решение Y* = (0, 0, 0), поэтому в данной сети не существует маркирований, связанных циклами на диаграмме состояний. Маркирование М совпадает с начальным, только если не срабатывает ни один из переходов сети, поскольку все компоненты вектора Y нулевые. Иначе говоря, поскольку Y=0, то последовательность состояний сети не имеет возвратов, что подтверждается диаграммами состояний.

В связи с полученными особенностями целесообразно определить, имеет ли тупик указанная невозвратная последовательность маркировок. Система уравнений (5.14) имеет вид:

m₁ - m₂ + m₃ = m₁ = m₄ = 0;

m₂ + m₃ + m₄ = 2.

Система совместна, и ей удовлетворяют любые маркирования, которые имеют m₁=0; m₂= m₃; m₄=0. Тупиковыми, например, являются маркирования М=(0110), М=(0220) и т. д. Таким образом, сеть номер два не является безтупиковой при M₀=(1101).

Рассмотрим ещё один пример анализа.

А=

Ранг матрицы А равен двум, поэтому n-2=1, т. е. в фундаментальную систему решений однородной системы АХ=0 входит один вектор Х. Распишем систему АХ=0:

x₁ – x₃ = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = 0.

Взяв её целочисленное решение X*=(1,1,1), получим условие инвариантности для позиций:

X*M = X* M₀ = m₁ + m₂ + m₃ = 1.

Интерпретация полученного результата состоит в следующем: сеть ограничена, поскольку , и, более того, - безопасна, поскольку суммарное число меток в сети не превышает 1.

Для вычисления t-инварианта рассмотрим систему:

y₁ – y₂ = y₂ – y₃ = y₃ – y₁= 0,

из которой найдём Y*=(1,1,1). Поскольку Y≠0 - сеть устойчива, т. е. процессы в ней периодически повторяются. Поскольку t-инвариант Y охватывает все переходы, так как все y_i=1, то сеть жива. Система уравнений (5.14) для данной сети:

m₁ + m₂ + m₃ = 1;

m₁ ≤ 0; m₂ ≤ 0; m₃ ≤ 0.

Поскольку она несовместна, делаем вывод, об отсутствии тупиков в данной сети.

Применив описанный подход к анализу следующей сети: можно убедиться в том, что она живая, неограниченная и беступиковая.