русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах


Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 7246; Нарушение авторских прав


 

Декартова система координат є не завжди зручною. Тому поряд із декартовою використовують і інші системи координат, найбільш поширеними серед яких являються циліндрична і сферична.

Координатними поверхнями циліндричної системи являються циліндр r = const та двох площин j = const і z = const, тобто вона є об’єднанням полярної системи на площині ХОУ і декартової в напрямку осі OZ . Циліндрична система координат (r, φ, z) і декартова система (x, y, z) пов’язані співвідношеннями:

, (3.6)

де 0 £ r < + ¥, 0 £ j £ 2p, - ¥ < z < + ¥.

Положення точки М задається полярними координатами r і φ (її проекція М1 на площину ХОУ ) та аплікатою z (Рис. 19).

Для того, щоб знайти елементи об'єму в циліндричних координатах, проводимо нескінченно близькі сім’ї кругових циліндрів r = const, що мають вісь OZ як вісь обертання (Рис. 20).

Поверхні z = const – це площини паралельні ХОУ, а поверхні φ = const – напівплощини, що проходять через вісь OZ.

 

Рис. 19

Рис. 20

 

Через малість елемента dv, знехтуємо криволінійними скривленнями і приймемо його за прямокутний паралелепіпед зі сторонами ML = dr, MК = rdφ, MN = dz знайдемо:

.

Підставивши елемент об'єму в потрійний інтеграл, отримаємо:

 

(3.7)

Приклад. Обчислити потрійний інтеграл , областю визначення якого є круговий циліндр з висотою h = 3 і радіусом r = 1.

Розв’язання.

= = = = =

= = = .

 

Координатними поверхнями сферичної системи є сфера r = const , площина j = const, і конус q = const. Сферична система координат (r, φ, q) і декартова системи (x, y, z) пов’язані співвідношеннями:

, (3.6)

де 0 £ r < , 0£ φ £ 2p, 0 £ q £ p.

Положення точки М задається її відстанню r від початку координат, полярним кутом φ проекції М1 на ХОУ та кутом q між віссю OZ і радіусом-вектором ОМ (Рис. 21). Цей останній кут відлічується від позитивного напрямку осі OZ .



Рис. 21

Для того, щоб знайти елемент об'єму в сферичних координатах, проводимо нескінченно близькі поверхні сімей r = const (сфери), q = const (конічні поверхні з вершиною на початку координат), φ = const (напівплощини, що проходять через вісь OZ) (Рис. 22).

Рис. 22

 

Візьмемо один з елементів, обмежений сферами радіусів ОК = r і ОМ = r + dr, конусами з кутами при вешині q і q + dq та напівплощинами, проведеними через OZ, сліди яких у площині ХОУ мають полярні кути φ і φ + dφ. Як і раніше знехтуємо криволінійними скривленнями і через малість елемента dv розглянемо його як прямокутний паралелепіпед зі сторонами MK = dr, ML = r dq, MN = rsinqdφ, знайдемо:

.

 

Підставивши елемент об'єму в потрійний інтеграл, отримаємо:

(3.8)

Приклад. Обчислити інтеграл ,

де R – куля

Розв’язання. У даному випадку зручніше перейти до сферичних координат:

, , .

= =

= .

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Обчислення потрійного інтеграла | Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 



Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.008 сек.