Обчислення потрійного інтеграла

Як і у випадку подвійних інтегралів, обчислення потрійних інтегралів зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування по кожній змінній окремо.

Нехай замкнена область R обмежена знизу і зверху відповідно поверхнями z = z₁(x, y) – знизу та z = z₂(x, y) – зверху і циліндричною поверхнею з боків (ця поверхня може бути відсутньою) (Рис. 17).

Функції z = z₁(x, y) і z = z₂(x, y) визначені і неперервні в області D, яка є проекцією області R на координатну площину ХОУ. Кожна пряма, що паралельна осі OZ і проходить через внутрішню точку проекції D перетинає границю R у двох точках – точці входу на поверхні z_вх = z₁(x, y) і точці виходу z _вих = z₂(x, y).

Рис. 17

Якщо при цьому область D є правильною, то область Rназивається правильною в напрямі осі OZ. Тоді для будь-якої неперервної в області R функції f(x, y, z) має місце формула:

= . (3.2)

Тут у внутрішньому інтегралі x та y вважають сталими. Після його обчислення отримаємо вираз, залежний тільки від x, y. Якщо, крім цього, область D є правильною в напрямі осі OУ , тобто а ≤ х ≤ b і від у_вх = у₁(х) до у_вих= у₂(х), де у₁(х), у₂(х) - неперервні функції на відрізку [а, b], то

= (3.3)

Із формул (3.2) і (3.3) отримаємо:

= . (3.4)

Права частина формули (3.4) називається повторним або трикратним інтегралом від функції f(x, y, z) по області R. Порядок інтегрування може бути й іншим. Якщо область D правильна в напрямі осі ОХ , тобто с < у < d,

х₁(у)< х < х₂(у), де функції х₁(у), х₂(у) неперервні на візку [с, d],

= . (3.5)

Приклад. Визначити потрійний інтеграл , де тіло V обмежене площинами у = 1 і z = 2, а також параболічним циліндром у = х².

Розв’язання. Будь пряма, що проходить через внутрішню точку тіла паралельно осі Оz, перетинає його границю у двох точках, а проекція цього циліндра на площину ХОУ є параболічний сегмент, обмежений параболою у = х² і прямою у = 1 (Рис.18).

Рис. 18

Точка входу прямої у тіло лежить на площині ХОУ, рівняння якої є z = 0, а точка виходу – на площині z = 2, тому:

= = .

Тепер розставимо границі інтегрування у подвійному інтегралі (Рис. 18, б). Область D є простою відносно осі ОУ. Точки входу прямої у цю область лежать на параболі у = х², а точки виходу – на прямій у = 1, а сама область проектується на вісь ОХ у відрізок [-1, 1]:

= = = = = .