Його геометричний і механічний зміст

Визначимо інтеграл від функції трьох змінних – потрійний інтеграл. Нехай довільна функція и = f(x, y, z) визначена і обмежена в замкненій обмеженій області R. Розіб’ємо область R довільним чином сіткою поверхонь на n частин R_і, які не мають спільних внутрішніх точок, і об’єми яких дорівнюють Dv_i (і = 1, 2, … n). У кожній частині R_і, візьмемо довільну точку Р(x, y, z) і утворимо суму:

(3.1)

яка називається інтегральною сумою для функції f(x, y, z) по області R. .

Означення. Якщо інтегральна сума (3.1) при l ® 0 (де l = ). має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області R на частини R_і, ні від вибору в них точок Р_і, то ця границя називається потрійним інтегралом від функції f(x, y, z) по області R і позначається одним із таких символів:

або

Таким чином, за означенням

,

де функція f(x, y, z) називається інтегровною в області R, R – область інтегрування, x, y, z – змінні інтегрування, Dv (або dxdydz) – елемент об’єму.

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція f(x, y, z) неперервна в замкненій обмеженій області R, то вона в цій області інтегровна.

Геометричний зміст. Якщо f(x, y, z) º 1 , Р(x, y, z) Î R, то потрійний інтеграл дорівнює об’єму V тіла R :

.

Механічний зміст. Якщо по тілу R розподілено масу з об’ємною густиною g = g(x, y, z), у точці Р(x, y, z) Î R, то маса m цього тіла знаходиться за формулою:.