русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Задача безусловной оптимизации

Задача безусловной оптимизации - задача оптимизации , допустимой множеством которой является весь евклидово пространство ( N ):

f (x) \ to \ min, \ qquad x \ in \ mathbf R ^ n

Методы решения

Метод наискорейшего спуска ( градиентный метод ) - итерационный метод поиска локального минимум функции многих переменных f ( x ). Метод заключается в шаговом перемещении в направлении обратном к градиенту функции в актуальной точке на расстояние пропорциональное величине этого градиента.

 

Описание метода наискорейшего спуска

Геометрическое представление метода в 2 . Синим цветом показаны линии уровня функции.

Метод заключается в построении последовательности { K } по формуле:

 x ^ {k +1} = x ^ k - t (x ^ k) \ cdot \ nabla f (x ^ k) . (1)

где ? F ( K ) - градиент функции f ( x ) в точке K , а t ( K ) выбирается исходя из условия:

 \ Min_t f \ left (x ^ k - t \ nabla f (x ^ k) \ right) = f \ left (x ^ k - t (x ^ k) \ nabla f (x ^ k) \ right). (2)

Впервые метод был предложен французским математиком Огюстен Коши . Широкое применение этого метода обусловлено тем, что в направления антиградиенту - ? F ( x ) производная функции по направлению достигает наименьшего значения.

Если градиент ? F ( x ) непрерывен по x а f ( x ) ? ? при X ? ?, то при произвольном начальном приближении ?F ( K ) ? 0 при K ? ?. Если при этом * - единственная стационарная точка, то K ? * , где f ( * ) = Min X Fx ).

Если f ( x ) невыпуклые и стационарных точек несколько, то последовательность { K } может, вообще говоря, не сходиться даже до локального экстремума функции f ( x ).

Пусть существует матрица Гессе

H (x) = \ left \ {\ frac {\ partial ^ 2F} {\ partial x_i \ partial x_j} \ right \} ^ n_ {i, j = 1},

положительно определена в каждой точке x . Тогда для последовательности (1) K ? * , и, начиная с некоторого номера N , выполняется неравенство

\ Sum_ {i = 1} ^ n (x_i ^ {k +1} - x_i ^ *) \ leq q \ sum_ {i = 1} ^ n (x_i ^ k - x_i ^ *) ^ 2 при K ? N ,

где

 q = \ frac {M (x ^ *) - m (x ^*)}{ M (x ^ *) + m (x ^ *)} <1 ,

K и - i -я координата K , M ( * ) и m ( * ) - соответственно наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы H ( * ).

Существует модификация метода, когда t ( K ) = ?> 0 - const, то есть

 x ^ {k +1} = x ^ k - \ tau \ nabla f (x ^ k). (3)

Если градиент ? F ( x ) удовлетворяет условию Липшица , то для последовательности (3) при выполнении перечисленных предположений верны соответствующие свойства последовательности (1).

Просмотров: 10358

Вернуться в оглавление:Теория оптимизации




Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.