русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Метод неопределенных множителей

Метод неопределенных множителей или метод неопределенных множителей Лагранжа - метод нахождения условного оптимума, предложенный итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем. Метод позволяет свести задачу на отыскание условного оптимума в задаче на нахождение безусловного оптимума.

Задача

Пусть нужно найти оптимум функции n переменных  F (x_1, x_2, \ ldots, x_n) при s условиях

 g_i (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0 , Где.

Описание метода

Вводя s неопределенных множителей Лагранжа ? и, построим функцию Лагранжа

 \ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s) = F (x_1, x_2, \ ldots, x_n) - \ sum_ {i = 1} ^ s \ lambda_i g_i ( x_1, x_2, \ ldots, x_n) .

Задача нахождения условного оптимума сводится к решению системы n + s уравнений с n + s переменными:

 \ Frac {\ partial \ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s)} {\ partial x_i} = 0, \ qquad i = 1,2, \ ldots, n  ,
 \ Frac {\ partial \ Phi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_s)} {\ partial \ lambda_j} = g_j (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0 , \ qquad j = 1,2, \ ldots, s .

Использование

Метод неопределенных множителей Лагранжа широко используется в математической и теоретической физике. С помощью этого метода получены уравнения Лагранжа первого рода, которые позволяют формально ввести силы реакции в физические задачи с связями. Неопределенные множители Лагранжа использует также вариационный метод в квантовой механике.

Пример

Задача

Найти прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре p.

Решение

Обозначим стороны прямоугольника x и y. Нужно найти максимум функции

S = X Y

при условии

2 x + 2 y = p.

Вводим множитель Лагранжа ? и ищем безусловный оптимум функции

F ( x, y, ?) = X Y - ? (2 x + 2 y - p )

Принимая производные получаем систему уравнений

 \ Frac {\ partial F (x, y, \ lambda)} {\ partial x} = y - 2 \ lambda = 0
 \ Frac {\ partial F (x, y, \ lambda)} {\ partial y} = x - 2 \ lambda = 0
 \ Frac {\ partial F (x, y, \ lambda)} {\ partial \ lambda} = 2x +2 y-p = 0

Подставляя значения y = 2? и x = 2? в последнее уравнение, получаем

 \ Lambda = \ frac {p} {8}
 x = y = \ frac {p} {4} .
 S_ {max} = \ frac {p ^ 2} {16}

Итак, наибольшую площадь среди прямоугольников с заданным периметром имеет квадрат.

Просмотров: 12249

Вернуться в оглавление:Теория оптимизации




Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.