русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Лемма Фаркаша

Лемма Фаркаша - утверждение выпуклой геометрии, широко используется в теории оптимизации, в частности при рассмотрении двойственных задач линейного программирования и доведение теоремы Каруша - Куна - Такера в нелинейном программировании . Лемма Фаркаша является одной из так называемых теорем альтернативности, что утверждают о существовании решения одной и только одной из немногих двух систем линейных уравнений и неравенств.

 

Теорема

Пусть A - матрица размерности m ? n , b \ in \ R ^ m. Тогда решение имеет только одна из таких систем:

  1. A x = b, \ quad x \ geq 0, \ quad x \ in \ R ^ n
  2. y ^ \ top A \ leq 0, \ quad \ langle y, b \ rangle> 0 \ quad x \ in \ R ^ n

 

Доказательство

Пусть система 1 имеет решение, то есть существует вектор x \ geq 0такой, что A X = b . Предположим y ^ \ top A \ leq 0,тогда:

0 <\ langle y, b \ rangle = \ langle y, A x \ rangle = \ langle y ^ \ top A, x \ rangle \ leq 0.

Полученная противоречие доказывает, что система 2 не имеет решения.

Предположим, что система 1 не имеет решения. Рассмотрим замкнутую выпуклую множество Z = \ left \ {c: c = A x, \; x \ ge 0 \ right \} . По предположению b \ notin Z,тогда учитывая теорему о отделимость выпуклой множества и точки, что ей не принадлежит, существуют вектор p \ in \ R ^ n, p \ neq 0, и число ? такие, что \ Left \ langle p, b \ right \ rangle> \ alpha, \ quad \; \ left \ langle p, c \ right \ rangle \ le \ alpha \ quad \ forall c \ in Z.Так, 0 \ in Z, то \ Alpha \ geq 0, \, \ left \ langle p, b \ right \ rangle> \ alpha \ geq 0.С другой стороны \ Alpha \ geq \ left \ langle p, A x \ right \ rangle = \ left \ langle p ^ \ top A, x \ right \ rangle.Компоненты вектора x могут быть сколь угодно большими, поэтому из последней неравенства получаем p ^ \ top A \ leq 0. Таким , p - решение системы 2.

Просмотров: 10441

Вернуться в оглавление:Теория оптимизации




Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.