Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки  можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тейлора:

где                – оператор дифференцирования,

 – оператор сдвига, выраженный через оператор  p .

h – шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:

,

Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, удаленную от текущей, например, на 2 шага вперед представляется так:

.

Выполнив алгебраическое перемножение многочленов с конечно-разностными операторами и ограничившись операторами со степенью не выше n, получим одну из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Действуя  таким сложным  конечно-разностным оператором на ординату f(x), получаем формулу для вычисления n-й  производной в точке  по значениям ее конечных разностей. Например, для n=2, отбрасывая все повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Если f(x) является многочленом степени n, то повторные разности (n+1)-го порядка тождественно равны нулю. Приравнивая нулю повторные разности порядков выше n мы фактически аппроксимируем f(x) многочленом степени n.

В предыдущем выражении, выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим еще один вид формулы для вычисления значения производной:

 .

Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, если положить  h=1  и